Удар абсолютно шероховатых шаров

[Geen]

pogulyat_vyshel в сообщении #1279757 писал(а):

Это вопрос философический должна или не должна.

Объявление в кафе: "Мы Вас обслужим: 1) быстро; 2) качественно; 3) недорого. Выберите любые два пункта."
В нашем случае это: 1) соударение шаров поверхностью; 2) зацепление поверхностей при ударе; 3) сохранение энергии.
Или я не прав?

[Walker_XXI]

Alex345 в сообщении #1279675 писал(а):

2) Зацепка при касательном контакте обязывает центры масс шаров разбегаться со скоростью, равной сумме скоростей вращения:
$ v'_1 - v'_2 = \omega'_1 + \omega'_2 $

Мне не очень понятно, почему вдруг приравниваются величины разных размерностей?

Alex345 в сообщении #1279721 писал(а):

DimaM в сообщении #1279687 писал(а):

Alex345 в сообщении #1279675 писал(а):

Закон сохранения энергии

При зацеплении кинетическая энергия не должна сохраняться.

Почему ? Трения нет. Куда она уходит ?

А что означают слова "абсолютно шероховатые", как не наличие трения? И каким образом осуществляется зацепление? Тут, скорее, нужно доказывать, что в случае конкретного зацепления энергия сохраняется (кто знает, что и как вы там зацепили?), но нельзя это полагать априори.

-- 29.12.2017, 14:30 --

Тут, наверное, стоит подумать над вопросом, почему вращение "шероховатых" колёс приводит автомобиль в движение по шероховатой дороге, и что бывает, когда трение между колёсами и дорогой пропадает?

[pogulyat_vyshel]

И так сталкиваются два однородных шара. Первый массой $M$ и радиуса $R$, второй -- массой $m$ и радиуса $r$. $J$ -- момент инерции первого шара относительно оси, проходящей через его центр; $j$ -- момент инерции второго шара относительно оси, проходящей через его центр.

Центр первого шара обозначим за $C$; центр второго за $S$.
Пусть $\boldsymbol V,\boldsymbol{\Omega}$ -- скорость центра и угловая скорость первого шара; $\boldsymbol v,\boldsymbol{\omega}$ -- скорость центра и угловая скорость второго шара.

Соответственно, вектор обобщенной скорости системы имеет вид

$$v=(\boldsymbol V,\boldsymbol{\Omega},\boldsymbol v,\boldsymbol{\omega})^T\in\mathbb{R}^{12}.$$

Это надо понимать так. Вводим в нашем физическом пространстве какую-нибудь декартову систему координат $XYZ$ и раскладываем по ней все векторы. Что бы получить вектор $v$ надо записать в столбец последовательно координаты указанных векторов: $v=(V_x,V_y,V_z,\Omega_x,\Omega_y,.....)^T.$

Кинетическая энергия системы имеет вид

$$T=\frac{1}{2}\Big(M|\boldsymbol V|^2+J|\boldsymbol{\Omega}|^2+m|\boldsymbol v|^2+j|\boldsymbol{\omega}|^2\Big).$$

Ей отвечает матрица Грамма:

$$G=\mathrm{diag}\,(M,M,M,J,J,J,m,m,m,j,j,j).$$

В момент удара шары не проскальзывают:

$$\boldsymbol V+[\boldsymbol\Omega, R\boldsymbol e]-\boldsymbol v+[\boldsymbol\omega,r\boldsymbol e]=0,\quad \boldsymbol e=\frac{\boldsymbol{CS}}{R+r}.$$

Это равенство можно переписать так: $B v=0$, где $B$ -- матрица из 3 строк и 12 столбцов.

Через $v^+$ обозначим обобщенную скорость системы через мгновение после удара; через $v^-$ обозначим обобщенную скорость системы за мгновение до удара. В соответствие с результатами статьи абсолютно упругий удар описывается формулой

$$v^+=(I-2 P)v^-,$$

где

$$P=G^{-1}B^T(BG^{-1}B^T)^{-1}B.$$

[Alex345]

Цитата:

Зацепка при касательном контакте обязывает центры масс шаров разбегаться со скоростью, равной сумме скоростей вращения:
$ v'_1 - v'_2 = \omega'_1 + \omega'_2 $

Мне не очень понятно, почему вдруг приравниваются величины разных размерностей?

Правая часть помножена на радиус, равный единице, для простоты расчёта.

Alex345 в сообщении #1279721 писал(а):

DimaM в сообщении #1279687 писал(а):

Alex345 в сообщении #1279675 писал(а):

Закон сохранения энергии

При зацеплении кинетическая энергия не должна сохраняться.

Почему ? Трения нет. Куда она уходит ?

А что означают слова "абсолютно шероховатые", как не наличие трения? И каким образом осуществляется зацепление? Тут, скорее, нужно доказывать, что в случае конкретного зацепления энергия сохраняется (кто знает, что и как вы там зацепили?), но нельзя это полагать априори.

-- 29.12.2017, 14:30 --

Тут, наверное, стоит подумать над вопросом, почему вращение "шероховатых" колёс приводит автомобиль в движение по шероховатой дороге, и что бывает, когда трение между колёсами и дорогой пропадает?[/quote]

Термин "абсолютная шероховатость" я придумал сам, чтобы на интуитивном уровне описать 100% зацепление без проскальзывание. Однако, как Вы справедливо отмечаете, это скорее наводит на мысль о трении.
Поправлюсь: трения в задаче нет по условию. Зацепление осущетвляется через исчезающе малый шип, но гарантирующий отсуттвие проскальзывания.
Именно этот факт и отражает ур-е $ v'_1 - v'_2 = \omega'_1 + \omega'_2 $ : разность скоростей центров масс должна равняться скоростям прокрутки шаров относительно шипа. Поскольку центры масс находятся на расстоянии радиуса от поверхностного шипа, омеги в правой части в общем случае надо домножить на соответствующие радиусы. В моем случае радиусы равны 1, поэтому они опущены.

-- 29.12.2017, 16:58 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1279815 писал(а):

И так сталкиваются два однородных шара. Первый массой $M$ и радиуса $R$, второй -- массой $m$ и радиуса $r$. $J$ -- момент инерции первого шара относительно оси, проходящей через его центр; $j$ -- момент инерции второго шара относительно оси, проходящей через его центр.

Центр первого шара обозначим за $C$; центр второго за $S$.
Пусть $\boldsymbol V,\boldsymbol{\Omega}$ -- скорость центра и угловая скорость первого шара; $\boldsymbol v,\boldsymbol{\omega}$ -- скорость центра и угловая скорость второго шара.

Соответственно, вектор обобщенной скорости системы имеет вид

$$v=(\boldsymbol V,\boldsymbol{\Omega},\boldsymbol v,\boldsymbol{\omega})^T\in\mathbb{R}^{12}.$$

Это надо понимать так. Вводим в нашем физическом пространстве какую-нибудь декартову систему координат $XYZ$ и раскладываем по ней все векторы. Что бы получить вектор $v$ надо записать в столбец последовательно координаты указанных векторов: $v=(V_x,V_y,V_z,\Omega_x,\Omega_y,.....)^T.$

Кинетическая энергия системы имеет вид

$$T=\frac{1}{2}\Big(M|\boldsymbol V|^2+J|\boldsymbol{\Omega}|^2+m|\boldsymbol v|^2+j|\boldsymbol{\omega}|^2\Big).$$

Ей отвечает матрица Грамма:

$$G=\mathrm{diag}\,(M,M,M,J,J,J,m,m,m,j,j,j).$$

В момент удара шары не проскальзывают:

$$\boldsymbol V+[\boldsymbol\Omega, R\boldsymbol e]-\boldsymbol v+[\boldsymbol\omega,r\boldsymbol e]=0,\quad \boldsymbol e=\frac{\boldsymbol{CS}}{R+r}.$$

Это равенство можно переписать так: $B v=0$, где $B$ -- матрица из 3 строк и 12 столбцов.

Через $v^+$ обозначим обобщенную скорость системы через мгновение после удара; через $v^-$ обозначим обобщенную скорость системы за мгновение до удара. В соответствие с результатами статьи абсолютно упругий удар описывается формулой

$$v^+=(I-2 P)v^-,$$

где

$$P=G^{-1}B^T(BG^{-1}B^T)^{-1}B.$$

Совершенно верно.
Решение этой системы для симметрично летящих шаров без вращения даст разлетающиеся шары с одинаковыми по модулю и противонаправленными скоростями центров масс, но разными по модулю угловыми скоростями ! И таких решеий два! В этом и состоит проблема. Какое из них будет правильным?

[pogulyat_vyshel]

Alex345 в сообщении #1279820 писал(а):

И таких решеий два! В этом и состоит проблема.

это у вас два, потому, что вы даже по написанному разобраться не способны:)

[Alex345]

pogulyat_vyshel в сообщении #1279831 писал(а):

Alex345 в сообщении #1279820 писал(а):

И таких решеий два! В этом и состоит проблема.

это у вас два, потому, что вы даже по написанному разобраться не способны:)

Система, написанная Вами выше, квадратична по отношению к угловым скоростям.
Вы утверждете, что она даёт при этом единственное решение по угловым скоростям ?