Удар абсолютно шероховатых шаров

[Alex345]

Мне необходимо рассчитать поведение двух абсолютно твёрдых шаров при косом ударе. При этом они абсолютно шероховаты, т.е. на поверхности есть зубцы, за которые они сцепляются при ударе.
Нормальная компонента скорости, по всей видимости, будет вести себя назависимо от шероховатости, т.е. как для абсолютно гладких шаров.
А вот комбинация вращательных скоростей и тангенциальные составляющие поступательных скоростей (по отношению к плоскости удара) вызывает вопрос.
У нас есть четыре неизвестных: две вращательные и две поступательные скорости.
При этом у нас только три уравнения:
1) Сохранение импульса
2) Сохранение момента импульса
3) Сохранение энергии (сумма вращение + поступательное)

Какое должно быть четвертое уравнение ?

[pogulyat_vyshel]

https://www.impan.pl/pl/wydawnictwa/czasopisma-i-serie-wydawnicze/applicationes-mathematicae/all/40/3/84185/on-weak-solutions-to-the-lagrange-8211-d-alembert-equation

[Dmitriy40]

Будут ли все 4 скорости независимы в момент удара/сцепления? Не уменьшится ли количество независимых переменных до приёмлимого уровня? Особенно в удобной системе отсчёта?

[Walker_XXI]

Dmitriy40 в сообщении #1276597 писал(а):

Будут ли все 4 скорости независимы в момент удара/сцепления? Не уменьшится ли количество независимых переменных до приёмлимого уровня? Особенно в удобной системе отсчёта?

Правильный вопрос. И тут скорее дело не в правильно выбранной СО, сколько в наличии связей в Вашей системе. Вращение без проскальзывания уже говорит о том, что угловые скорости не будут независимыми.

Кроме того правильнее считать не общее число уравнений/неизвестных величин, а число покомпонентных уравнений и неизвестных компонент (например, ЗСИ - это векторное уравнение, т.е. на самом деле $3$ уравнения, ЗСЭ - скалярное)...

[fred1996]

Alex345
В вашей задаче наблюдается одно явное противоречие.
Если шары шероховатые, то уже точно не будет сохранения энергии.
Если вы пишете, что шары даже на какое-то небольшое время сцепляются, это будет абсолютно неупругий удар, даже если они после этого разлетятся.
Если учитывать трение, то скорее всего надо решить, что оно как и обычно пропорционально нормальной силе между шарами. То есть задачу можно поставить так, что вот мол у нас есть абсолютно упругий удар по нормали и задан к-т трения $\mu$. При абсолютно упругом косом ударе у нас трение отсутствует, поэтому нет изменения продольного импульса относительно касательногй клоскости удара. При наличии трение изменение касательного имуклься пропорционально изменению нормального импульса. Ну и изменение углового импульса так-же пропорционально изменению обоих этих импульсов. То есть задача решается через уравнения 2-ого закона Ньютона в импульсной форме для продольного, поперечного и вращательного взаимодействий.
Решая задачу в системе центра масс вы на самом деле имеете всего два уравнения: для продольного взаимодействия через трение, пропорционального ему вращательного импульса и готовый результат для изменения нормального импульса.

[Walker_XXI]

pogulyat_vyshel в сообщении #1276594 писал(а):

https://www.impan.pl/pl/wydawnictwa/czasopisma-i-serie-wydawnicze/applicationes-mathematicae/all/40/3/84185/on-weak-solutions-to-the-lagrange-8211-d-alembert-equation

Мне кажется, не совсем правильно давать голую ссылку на закрытый платный ресурс.

[svv]

https://www.impan.pl писал(а):

Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Если каждый год они открывают для бесплатного доступа статьи за ещё один год, лет через пять прочтём бесплатно...

[Alex345]

Добавил четвёртое уравнение (собственно, условие абсолютной шероховатости в этом конкретном случае) - в момент удара разность скоростей центров масс (точнее, их проекций по касательной к ударy) должна быть равна сумме угловых скоростей на радиус, т.е. в момент абсолютно шероховатого удара они сцепляются на мгновение шарнирно в точке контакта. Получишаяся система 4-х уравнений является квадратной относительно угловых скоростей и даёт два решения. Однако, каждое из этих решений не симметрично при исходной симметрии начальных условий (!!!).
К примеру, два шара, летящие друг навстречу другу без вращения со скоростью 1 и коснувшись чисто тангенциально, после такого удара будут вращаться с разными по модулю угловыми скоростями :
1-e решение: $\omega'_1=-0.78$, $\omega'_2=0.07$
2-e решение: $\omega'_1=0.07$, $\omega'_2=-0.78$
Какое из этих решений правильное?

[Geen]

Alex345 в сообщении #1279586 писал(а):

Какое из этих решений правильное?

Похоже Вы где-то ошиблись - прямое вычисление даёт (у меня) совсем другой результат.

[Alex345]

Пусть $v_1$, $v_2$, $v'_1$, $v'_2$ - скорости шаров 1 и 2 до и после столкновения,
$\omega_1$, $\omega_2$, $\omega'_1$, $\omega'_2$ - угловые скорости шаров 1 и 2 до и после столкновения,
массы и радиусы шаров - единичные, момент инерции получится 2/5.
Рассмотрим плоский случай, скорости направлены вдоль оси х, шары ударяются чисто касательно.

1) Закон сохранения импульса
$v_1 + v_2=v'_1+v'_2$
2) Зацепка при касательном контакте обязывает центры масс шаров разбегаться со скоростью, равной сумме скоростей вращения:
$ v'_1 - v'_2 = \omega'_1 + \omega'_2 $
3) Сохранение момента импулься относительно точки касания:
$\frac{2}{5}\omega_1 + v_1 + \frac{2}{5}\omega_2 - v_2 = \frac{2}{5}\omega'_1 + v'_1 + \frac{2}{5}\omega'_2 - v'_2 $
4) Закон сохранения энергии
$\frac{2}{5}\omega_1^2 + v_1^2 + \frac{2}{5}\omega_2^2 + v_2^2 = \frac{2}{5}\omega'_1^2 + v'_1^2 + \frac{2}{5}\omega'_2^2 + v'_2^2 $

Допустим, первый шар летит со скоростью 0.5, второй -0.5.
Тогда
1) $v_1 + v_2=0$
3) (с учётом 2) $ 1 = \frac{7}{5}( v'_1 - v'_2 ) = \frac{7}{5}( \omega'_1 + \omega'_2 ) $ (т.е. уже на этом этапе решение несимметрично по отношению к угловым скоростям)
По поступательным скоростям имеем решение уже на этом этапе: $v'_1=\frac{5}{14}$, $v'_2=-\frac{5}{14}$.

Для решения по угловым скоростям теперь необходимо использовать ур-я 4 и 3
3) $1=\frac{7}{5}(\omega'_2+\omega'_1)$
4) $\frac{1}{2}=\frac{2}{5}(\omega'_2^2+\omega'_1^2) + 2\left(\frac{5}{14}\right)^2$
Решением этой системы будет пара либо $\omega'_1=0.78, \omega'_2=-0.07$, либо $\omega'_1=-0.78, \omega'_2=0.07$

Какое из них правильное ?

[DimaM]

Alex345 в сообщении #1279675 писал(а):

Закон сохранения энергии

При зацеплении кинетическая энергия не должна сохраняться.

[pogulyat_vyshel]

Walker_XXI в сообщении #1277147 писал(а):

Мне кажется, не совсем правильно давать голую ссылку на закрытый платный ресурс.

Вас в гугле забанили? https://arxiv.org/abs/1206.1496

[Alex345]

DimaM в сообщении #1279687 писал(а):

Alex345 в сообщении #1279675 писал(а):

Закон сохранения энергии

При зацеплении кинетическая энергия не должна сохраняться.

Почему ? Трения нет. Куда она уходит ?

-- 29.12.2017, 11:41 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1279715 писал(а):

Walker_XXI в сообщении #1277147 писал(а):

Мне кажется, не совсем правильно давать голую ссылку на закрытый платный ресурс.

Вас в гугле забанили? https://arxiv.org/abs/1206.1496

Эта статья про столкновение шара со стеной. Эта задача одозначно решается и без диких экскурсов в Лагранжианы.
Не знаю вообще, зачем такие статьи писать.
А принципиальная трудность столкновения двух шаров не разрешается изложенными там методами.

-- 29.12.2017, 12:23 --

Geen в сообщении #1279660 писал(а):

Alex345 в сообщении #1279586 писал(а):

Какое из этих решений правильное?

Похоже Вы где-то ошиблись - прямое вычисление даёт (у меня) совсем другой результат.

Буду Вам очень признателен, если поделитесь решением. Или в моём ошибку найдёте.

[pogulyat_vyshel]

DimaM в сообщении #1279687 писал(а):

При зацеплении кинетическая энергия не должна сохраняться.

Это вопрос философический должна или не должна. При неголономном ударе неизвестных больше чем уравнений общих теорем динамики, поэтому привлекают еще какие-то дополнительные физические гипотезы. Естественно называть удар абсолютно упругим если кинетическая энергия сохраняется. Для неголономного удара это будет одна из дополнительных гипотез. А в случае голономного удара сохранение кин. энергии было бы просто следствие вариационного принципа Гамильтона

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1279715 писал(а):

Walker_XXI в сообщении #1277147 писал(а):

Мне кажется, не совсем правильно давать голую ссылку на закрытый платный ресурс.

Вас в гугле забанили? https://arxiv.org/abs/1206.1496

Нет, конечно, поисковик доступен. Но разве вопрос в этом?