перигелий и афелий эллиптической орбиты

[reterty]

Хорошо известно утверждение что перигелий и афелий
являются наиболее близкой и удаленной из всех точек эллипса
по отношению к одному из фокусов (в котором находится Солнце).
Однако, мне это утверждение априори не кажется очевидным.
Моя попытка аналитически доказать это не увенчалась успехом.
Попытка сосояла в следующем. Пусть точка с координатами
$(x, y)$ принадлежит эллипсу. Тогда $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b$).
Если обозначить через $F=\sqrt{a^2-b^2}$ фокальное расстояние, то расстояние от правого
(для простоты) фокуса, находящегося на линии апсид (ось $OX$) будет равным $r=\sqrt{(x-F)^2+y^2}$.
Выражая из первого уравнения $y$ через $x$ и подставляя это выражение во второе уравнение, получим
классическую задачу на экстремум. Проблема в том, что функция $r(x)$ не имеет стационарной точки
на промежутке $[-a;a]$. Построив график в Мейпле, увидел, что она действительно монотонно уменьшается на этом промежутке.
Может кто сумеет найти строгое лаконичное и изящное доказательство этого утверждения.
P.S. Cдается, что доказательство нужно искать, используя теорию аффинных преобразований

[miflin]

Попробуйте в полярных координатах. Исследуйте на экстремум заведомо положительную величину $1+e\cos\varphi$

[wrest]

reterty
У вас есть треугольник ABC с постоянным периметром и фиксированной одной стороной AB. Прикиньте какое должно быть условие доя того чтобы сторона AC (или BC) была минимальной длины.

[arseniiv]

reterty в сообщении #1279259 писал(а):

P.S. Cдается, что доказательство нужно искать, используя теорию аффинных преобразований

При аффинных фокусы эллипсов себя плохо ведут.

[Евгений Машеров]

Извините, Вы не с определениями боретесь? Перигелия и афелия.

[Someone]

reterty в сообщении #1279259 писал(а):

Проблема в том, что функция $r(x)$ не имеет стационарной точки
на промежутке $[-a;a]$.

Вы знаете, наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке не всегда достигаются именно в стационарной точке, даже если она есть. Есть ещё концы отрезка и точки, где производная не существует. И глобальные экстремумы могут оказаться в этих точках, которые Вы не желаете рассматривать. Вы в учебник математического анализа попробуйте заглянуть. Любопытства ради.

Евгений Машеров в сообщении #1279295 писал(а):

Извините, Вы не с определениями боретесь? Перигелия и афелия.

Разумеется, именно с этим reterty и борется.

[Евгений Машеров]

Тогда я чего-то сильно не понимаю. Названия не нравятся? Пусть будут перихрений и афигелий - что это изменит? Или сомнения в том, что у ограниченной величины бывают максимум и минимум? Или что максимум и минимум достигаются каждый в единственной точке орбиты? Или, что неудачно воспользовавшись инструментом, сомневается в результате?

[reterty]

Евгений Машеров в сообщении #1279373 писал(а):

Тогда я чего-то сильно не понимаю. Названия не нравятся? Пусть будут перихрений и афигелий - что это изменит? Или сомнения в том, что у ограниченной величины бывают максимум и минимум? Или что максимум и минимум достигаются каждый в единственной точке орбиты? Или, что неудачно воспользовавшись инструментом, сомневается в результате?

Изящное доказательство предложено wrest. Топик закрыт)

[wrest]

reterty в сообщении #1279374 писал(а):

Изящное доказательство предложено wrest.

Интересно было бы его таки увидеть :)

[reterty]

wrest в сообщении #1279390 писал(а):

reterty в сообщении #1279374 писал(а):

Изящное доказательство предложено wrest.

Интересно было бы его таки увидеть :)

Можно и экстремально в первом варианте. Только выражаем $x$ через $y$ и ищем экстремум на промежутке $[-b;b]$

[reterty]

Итак, поскольку, как было показано выше ф-ция $r(x)$ не имеет экстремумов на промежутке $[0;a]$ то она либо монотонно возрастает либо монотонно убывает на нем. Но $r(0)=a>r(a)= a-\sqrt{a^2-b^2}$ (для простоты рассматриваем первый квадрант); поэтому эта функция убывает на данном промежутке. Следовательно, перигелий есть точка наименее удаленная от правого фокуса. Тот факт , что афелий есть наиболее удаленная точка от фокуса прямо следует из даказанного выше факта и основного св-ва эллипса (сумма расстояний от фокусов эллипса до произвольной точки есть величина постоянная).