Нашёл N для 11 степени!

[Anatolii]

Любое рациональное число представимо суммой 64-рёх различных не обязательно положительных чисел, каждое из которых возведено в одиннадцатую степень! Не знаю, найдена ли аналогичная формула с меньшим чем 64 кол-вом членов. Поэтому может ли пригодится этот странный результат, да и для чего он, вообще, нужен? Или аналогичный результат и для 12-той степени, также для 64-рёх чисел? Для любой степени, но это не имеет смысла, так как формулы будут слишком велики и громоздки!
Отправляю сообщение без тега [math]$ и других преобразований, так, как не удается отредактировать даже с помощью Maple, пример скопирован прямо из Maple и проверен с её помощью. Если будет не угодно, то можете удалить или отредактировать должным образом, мне это без разницы!

N = (78125/8-(203119913336832/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(282175488+(88159684608/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(7/8-(203119913336832/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(312500+(3173748645888/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(1/216+(1332669751402954752/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(7/216-(1332669751402954752/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(28+(3173748645888/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(28/27-(20822964865671168/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(2187500/27+(20822964865671168/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(40310784+(88159684608/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(10450944-(578415690713088/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(1/8-(203119913336832/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(7/216+(1332669751402954752/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(2187500+(3173748645888/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(312500-(3173748645888/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(98415000000-(5642219814912/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(1259712+(5642219814912/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(46656+(37018604205637632/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(25515000000-(37018604205637632/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(7/8+(203119913336832/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(282175488-(88159684608/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(10450944+(578415690713088/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(688905000000-(5642219814912/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(3645000000-(37018604205637632/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(1492992-(578415690713088/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(546875/8-(203119913336832/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(2187500/27-(20822964865671168/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(3645000000+(37018604205637632/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(78125/8+(203119913336832/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(816480000000+(578415690713088/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(326592-(37018604205637632/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(688905000000+(5642219814912/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(312500/27+(20822964865671168/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(78125/216-(1332669751402954752/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(25515000000+(37018604205637632/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(546875/216+(1332669751402954752/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(1/8+(203119913336832/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(22044960000000+(88159684608/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(28-(3173748645888/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(8817984-(5642219814912/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(546875/8+(203119913336832/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(116640000000+(578415690713088/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(46656-(37018604205637632/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(78125/216+(1332669751402954752/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(28/27+(20822964865671168/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(3149280000000+(88159684608/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(4/27-(20822964865671168/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(22044960000000-(88159684608/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(4+(3173748645888/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(98415000000+(5642219814912/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(1/216-(1332669751402954752/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(546875/216-(1332669751402954752/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(40310784-(88159684608/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11-(1492992+(578415690713088/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(2187500-(3173748645888/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(8817984+(5642219814912/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(4-(3173748645888/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(1259712-(5642219814912/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(816480000000-(578415690713088/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(116640000000-(578415690713088/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11-(326592+(37018604205637632/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11+(3149280000000-(88159684608/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(312500/27-(20822964865671168/52575796231696424907320038797573669903218891360442291825122686649706439854237394771618491953190084721170110112040471496434810982645025257669078125)*N)^11+(4/27+(20822964865671168/84121273970714279851712062076117871845150226176707666920196298639530303766779831634589587125104135553872176179264754394295697572232040412270525)*N)^11

[Someone]

А можно это как-нибудь в более обозримом виде представить? Записать это выражение в буквенных обозначениях, показать его структуру…

Anatolii в сообщении #1279347 писал(а):

Если будет не угодно, то можете удалить или отредактировать должным образом, мне это без разницы!

Нет, это уже нехорошо. Здесь для записи формул используется не Maple, а \LaTeX (почитайте темы http://dxdy.ru/topic8355.html и topic183.html). Но формулы с такими числами в обозримом виде записать сложно. В \LaTeX тоже будет выглядеть плохо. Поэтому Вы это своё сообщение не исправляйте, а в следующем обозначьте числа как-нибудь типа $a_i$, $b_i$ и запишите формулу. Да, учтите, что математики не обозначают умножение "звёздочкой".

Результат любопытный. Выражение правильное, я проверил. Вы предполагали какое-то обсуждение? Тогда сформулируйте, что именно Вы хотите обсудить. Что за задача, какие есть аналогичные результаты.

-- Чт дек 28, 2017 02:36:18 --

Кстати, если специалисты найдут результат интересным, надо поинтересоваться возможностью публикации.

[iifat]

Да структура-то в общем понятна: 64 линейных двучлена, которые в 11-й степени в сумме дают $N$. Не уверен, что в $\LaTeX$ будет обозримее. И да, действительно интересно (ни разу, впрочем, не специалист).

[Pphantom]

А можно поподробнее, в чем именно интерес? Собственно, утверждение состоит в том, что есть (и найдены) такие $a_k, b_k \in \mathbb{Q}$, что

$$N=\sum\limits_{k=1}^{64} (a_k \,N + b_k)^{11}$$

. Выражение справа представимо в виде многочлена 11-й степени от $N$, слева, естественно, тоже (если это можно так громко называть), соответственно, есть система из 11 уравнений с 128 неизвестными. Как-то не кажется, что наличие у нее рационального решения является чем-то особенным.

[iifat]

Ну, уточнения ради — глубоко нелинейная система уравнений. И не наличие рационального решения, а нахождение.

(Оффтоп)

Собственно, и наличие не так уж очевидно — например, если б кто нашёл рациональный корень простенького уравнения $x^2+2x+2=0$, это перевернуло бы математику

[g______d]

Кажется, Вас обогнали недавно

https://arxiv.org/abs/1602.03221v1

Если я не торможу, то из того, что достаточно большое целое число представимо в виде суммы $63$ одиннадцатых степеней натуральных чисел, следует, что любое положительное рациональное число является суммой $63$ одиннадцатых степеней рациональных чисел (даже минусы не нужны).

Если разрешается менять знаки, то наверное можно проще, но я не знаю, писал ли кто-нибудь для 11. Похожий на Ваш метод (в смысле поиск подобных соотношений) описан в главе 12 книги Borwein, "Computational excursions in Analysis and Number Theory", там даже есть упражнение "посчитайте, что получится для степеней до $20$", но я не уверен, что можно довести именно до $64$.

А, вот ещё есть статья (за paywall, но через всем известный ресурс открывается)

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1 ... .1.14/full

в которой для степени $k$ утверждается, что можно $2^{\frac12 [k+1]}$ слагаемых, для $11$ получается как раз 64.

[Pphantom]

Понятно, что нелинейная, но уж слишком недоопределенная. Собственно, вопрос скорее в том, какие результаты получаются, например, для меньших степеней - проще сравнивать будет.

[g______d]

Pphantom в сообщении #1279380 писал(а):

Собственно, вопрос скорее в том, какие результаты получаются, например, для меньших степеней - проще сравнивать будет.

Конкретно в этой задаче шаг в сторону -- и будет проблема Варинга, про которую миллион статей написано и ещё столько же будет, пока не решат.

Вообще, интуиция на тему "количество уравнений минус количество неизвестных" над целыми или рациональными числами не всегда хорошо работает, может оказаться так, что уравнение не разрешимо по какому-то модулю, и дополнительные переменные не помогут. Кроме того, если оно вдруг окажется разрешимо по любому модулю плюс разрешимо в $\mathbb R$, нужна целая теория на тему того, следует ли из этого разрешимость в $\mathbb Q$ или $\mathbb Z$, которая достаточно подробно разработана только для квадратных уравнений, да и то не для всех.

[Pphantom]

Ясно, спасибо.

[g______d]

Надеюсь, что журнал меня не убьёт за выкладывание статьи 1936 года, все копирайты должны были истечь, по идее.

Вложение:

subbarao1.png

Вложение:

subbarao2.png

Вложение:

subbarao3.png

[grizzly]

Anatolii в сообщении #1279347 писал(а):

аналогичный результат и для 12-той степени, также для 64-рёх чисел

Жаль, но даже этот результат покрывается старой статьёй, которую привёл g______d. Но я в любом случае за то, чтобы разобраться, как Anatolii получил эти формулы. Мало ли -- вдруг этот метод можно в чём-то оптимизировать. Само по себе повторение результата середины прошлого века в этой области математики -- неслабое достижение для любителя.

[Soul Friend]

(Оффтоп)

можно ли это записать так:

$$N=\sum_{k=1}^{64}\left(\left(N\left(1-\frac{N-x_k}{N}\right)\right)^{11}\right)$$

[Soul Friend]

(Оффтоп)

из которого и вытекает проблема Варинга:

$$N=\sum_{k=1}^{64}((x_k)^{11})$$

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1279452 писал(а):

(Оффтоп)

можно ли это записать так:

$$N=\sum_{k=1}^{64}\left(\left(N\left(1-\frac{N-x_k}{N}\right)\right)^{11}\right)$$

но чтобы все $x_k$ в одной степени были "универсальными" для всех $N$ - это интересно.

[Anatolii]

Проблема Варинга значительно труднее! Во первых нужно найти наименьшее кол-во членов для всякой степени n. Во вторых все числа должны быть целыми и положительными. В третьих нужно доказать, что начиная с некоторого, всякое число большее его представимо таким способом, для каждой степени n, также начиная с некоторой величины.