Задача на колебание цепочки(теоретическая механика)

[qetzalkoatl]

$N$ шариков связаны одинаковыми пружинками жесткости $k$. Массы шариков $m$, $2m$, $3m$,... , $Nm$ (возрастают с номером шарика). Найти частоты нормальных колебаний системы. Написал функцию и уравнение Лагранжа. Сложность в том, что к ним нужно подобрать функцию, которая является решением(или же определитель трехдиагональной матрицы посчитать аналитически).
Подскажите, пожалуйста, как доделать...
$L=\dfrac{m}{2}\sum\limits_{n=1}^{N}\dot{x}_n^2-\dfrac{k}{2}\left(x_1^2+\sum\limits_{n=2}^{N}\left(x_n-x_{n-1}\right)^2+x_N^2\right)$

$\left\{ \begin{array}{l} m\ddot{x}_1+k(2x_1-x_2)=0 \\ m\ddot{x}_n\cdot n+k(2x_n-x_{n-1}-x_{n+1})=0 \\ m\ddot{x}_N\cdot N+k(2x_N-x_{N-1})=0 \\ \end{array} \right.$
Решение в виде бегущей волны:
$x_n=A(n)\cdot e^{{{i\omega}t}\pm{in\varphi}}$

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- свои попытки решения нужно тоже набрать и нужно все формулы набрать с помощью тега math: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: оформление исправлено.

[svv]

qetzalkoatl в сообщении #1279148 писал(а):

Решение в виде бегущей волны:
$x_n=A(n)\cdot e^{{{i\omega}t}\pm{in\varphi}}$

Следовательно, $\ddot x_n=-\omega^2 x_n$. Удобно обозначить $\omega_0^2=\frac k m$ и $\lambda=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}$. Тогда определитель будет полиномом $N$-й степени относительно $\lambda$ и не будет зависеть ни от каких параметров задачи, кроме количества шариков.

Мы когда-то эту задачу уже рассматривали. Простого аналитического выражения для определителя не видно. Зато есть простая рекуррентная формула либо для определителя, либо для коэффициентов полинома. Для корней полинома тоже ничего аналитического не просматривается.

Для спектра также получено уравнение с цилиндрическими функциями нецелого порядка.

[qetzalkoatl]

svv в сообщении #1279454 писал(а):

Для спектра также получено уравнение с цилиндрическими функциями нецелого порядка.

Спасибо большое, помогло. До рекурентной формулы я сам добрался, просто не знал, как с ней дальше быть. К сожалению, не был знаком с цилиндрическими функциями. Теперь, кажется, разобрался немножко.