Прошу проверить, плиз.
Упражнение (принцип Дирихле). Показать, что следующие три условия на множество

попарно равносильны друг другу:
1)

бесконечно;
2) существует инъекция

, не являющееся сюръекцией;
3) существует сюръекция

, не являющееся инъекцией.
Доказательство. Пусть справедливо (1). Выберем в

счетное подмножество

. Тогда

и множество

содержит хотя бы один элемент, который не принадлежит

. Очевидно, что можно установить отображение

, такое что в

найдутся два различных элемента, образы которых отличаются (принцип Дирихле). Такое отображение является сюръекцией и не является инъекцией (по определению). (1)

(3) доказано.
Теперь пусть выполняется (3). Тогда существует

, в котором содержится хотя бы один элемент и

, т.е.

. Очевидно, что можно задать такое отображение, в котором каждому элементу

будет сопоставляться не более одного элемента

. Такое отображение является инъекцией. (3)

(2) доказано.
Теперь пусть справедливо (2). Предположим, что

конечное множество. Тогда существует элемент с номером

, такой что существует биекция

, что противоречит посылке. Следовательно множество

бесконечное (2)

(1) доказано.