В чем ошибка азартного игрока?

[mihaild]

upgrade в сообщении #1279151 писал(а):

(не время, а что)?

Они могу встретиться в одном и том же "блуждании".
Т.е. вероятностностное пространство у нас тут состоит из бесконечных последовательностей шагов, каждый шаг вперед либо назад. И при некоторых последовательностях шагов (на самом деле почти при всех) мы побываем в каждой точке.

[upgrade]

mihaild
А, дошло, спасибо. Блуждание - это момент, когда все точки пройдены, когда этот многомерный вектор сформировался.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1279160 писал(а):

Блуждание - это момент, когда все точки пройдены, когда этот многомерный вектор сформировался.

Некоторые после таких слов, наоборот, усомнятся, что вы поняли. А всё из-за многомерного вектора и момента.

[upgrade]

arseniiv в сообщении #1279161 писал(а):

Некоторые после таких слов, наоборот, усомнятся, что вы поняли. А всё из-за многомерного вектора и момента.

Совместные события - это такие которые могут произойти одномоментно.
Значит когда я вижу, что какие-то события надо классифицировать, как совместные (или несовместные), я также должен увидеть где там присутствует время и пока не увижу это присутствие - его ищу.
Вот я и увидел: момент (время) определения совместности событий - это появление конкретной цепи из пучка всех цепей. Цепь - это же вектор многомерный? Вот он в какой-то момент появляется, и этот момент и есть тот самый, который разделяет события на совместные и несовместные. Несовместные в данном случае будут цепи блужданий, а совместные - точки какой-то цепи.

[wrest]

upgrade
Вот три "блуждания" за 10 000 шагов. График показывает накопленный выигрыш.
Зеленый график -- равновероятная монета.
Серый график -- вероятность выигрыша при каждом броске 49%
Желтый график -- вероятность выигрыша при каждом броске 48,65% (как в казино с одним зеро).
Синий -- квадратный корень из количество шагов.

Зеленый график пересекает ноль несколько раз.
Серый тоже пересекает, но меньшее количество раз чем зеленый.
Желтый (ну, так уж получилось в этом "забеге") -- не пересекает ноль вообще.


Но может быть например и так:

[mihaild]

upgrade в сообщении #1279164 писал(а):

Совместные события - это такие которые могут произойти одномоментно.

Неправильно. Совместные события - это события, пересечение которых непусто. Это понятие из базового тервера, время появляется только дальше, в слупах.

Мы начинаем с вероятностного пространства, элементами которого являются отображения $\mathbb{N} \to \{0, 1\}$, а событие - это некоторое множество таких отображений [даже не произвольное].

-- 27.12.2017, 17:24 --

wrest в сообщении #1279165 писал(а):

Зеленый график пересекает ноль несколько раз.

Более того, если его продолжать достаточно далеко, то он его будет пересекать всё больше и больше раз.

[upgrade]

mihaild в сообщении #1279166 писал(а):

Совместные события - это события, пересечение которых непусто.

Так пересечение где-то происходит, в реальном эксперименте - это момент времени.
Т.е. наполняем пересекаемые множества событиями, у которых момент времени один и тот же и уже дальше проверяем их пересечением - совместные они или нет.

[wrest]

mihaild в сообщении #1279166 писал(а):

Более того, если его продолжать достаточно далеко, то он его будет пересекать всё больше и больше раз.

Ну, как видно, расстояние между двумя пересечениями заметно растет. Бесконечность это конечно такая штука которой все это без разницы, но тем не менее. Я бы сказал "будет пересекать всё реже и реже" :)
Это, в каком-то смысле, парадоксальная штука. Мы все время говорим о том, что при равновероятных исходах, предыдущую их историю можно забыть, т.к. она не влияет на последующие исходы, и тогда, казалось бы, каждое пересечение нуля это для игрока как бы "перезапуск" игры с начала. Но нет. А почему так? Положим, при каждом пересечении нуля игрок садится за другой стол. Или не пересаживается, а берется другая монета, тоже равновероятная, или другой шарик у рулетки, или приходит другой крупье. Этим игра "перезапускается" или нет? А если выйти из казино на улицу и войти. А если остановиться на нуле и продолжить завтра?

Как происходит перезапуск? Что-то прямо-таки стало интересно.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1279168 писал(а):

Так пересечение где-то происходит, в реальном эксперименте - это момент времени.

«В реальном эксперименте» вообще нет никаких событий в смысле теории вероятностей. Два множества или пересекаются, или не пересекаются, независимо от всего, от чего не зависят их определения. От времени определения тех двух событий не зависят.

[Someone]

wrest в сообщении #1279165 писал(а):

Синий -- квадратный корень из количество шагов.

"Границы" блуждания не даются этой функцией. Пусть случайные величины $X_1$, $X_2$, $X_3$, … одинаково распределены, независимы, имеют математические ожидания $\mathbf MX_k=m$ и дисперсии $\mathbf DX_k=\sigma^2>0$. Обозначим

$$S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k.$$

Последовательность $S_1$, $S_2$, $S_3$, … — дискретный случайный процесс с независимыми приращениями. "Границы" для последовательности $S_n$ даются так называемым законом повторного логарифма:

$$mn\pm(1+\varepsilon)\sigma\sqrt{2n\ln\ln n}.$$

Точное утверждение состоит в том, что при $\varepsilon>0$ случайный процесс с вероятностью $1$ пересекает каждую из границ конечное число раз, а при $-1<\varepsilon<0$ — бесконечное. Можно попробовать изобразить на графике эти границы при $\varepsilon=0$. Но в вашем численном эксперименте для разных вероятностей выигрыша границы будут разными: они зависят от математического ожидания и дисперсии выигрыша в одной игре.

Если величина выигрыша задаётся правилом

$$X_k=\begin{cases}1\text{ с вероятностью }p,\\ -1\text{ с вероятностью }1-p,\end{cases}$$

то $\mathbf MX_k=2p-1$, $\mathbf DX_k=4p(1-p)$.

Исправление. Виноват, выражение для границ написал неправильно. Исправил.

wrest в сообщении #1279170 писал(а):

Мы все время говорим о том, что при равновероятных исходах, предыдущую их историю можно забыть, т.к. она не влияет на последующие исходы, и тогда, казалось бы, каждое пересечение нуля это для игрока как бы "перезапуск" игры с начала. Но нет.

Почему нет? Именно так и есть. Просто чем дольше продолжается игра, тем более редкие события реализуются. Поэтому понемногу величина отклонения $S_n$ от $MS_n=mn$ в среднем увеличивается.

Прошу прощения за кучу цитат, но иначе читателям придётся долго разыскивать, на какой вопрос я отвечаю.

upgrade в сообщении #1279107 писал(а):

B@R5uk в сообщении #1278980 писал(а):

Так не бывает. Сумма этих вероятностей не больше единицы.

Выигрыш - это прирост капитала игрока, а проигрыш - уменьшение
С какой, по-вашему, вероятностью, игрок может прирастить капитал при бесконечном количестве бросков монеты?

upgrade в сообщении #1279139 писал(а):

wrest в сообщении #1279138 писал(а):

upgrade в сообщении #1279134 писал(а):

Это значит, что можно побрасывать монетку пока не будет получен выигрыш.

Тогда вероятность выигрыша равна единице.

Теперь вместо слова "выигрыш" ставим "проигрыш"...

wrest в сообщении #1279142 писал(а):

Тогда вероятность тоже единица.

При такой интерпретации обсуждаемые события относятся к разным вероятностным пространствам, поэтому никаких утверждений типа "сумма вероятностей равна $1$" сделать нельзя. События только кажутся противоположными, но на самом деле таковыми не являются. Если мы останавливаем игру в тот момент, когда получим выигрыш, мы получим один набор элементарных исходов, а если в момент проигрыша — другой. У этих пространств даже нет общих элементов.
Другая возможная интерпретация состоит в том, что мы действительно реализуем бесконечную последовательность игр и хотим найти вероятность того, что предельный выигрыш будет положительным. Однако в таком случае никакого предельного выигрыша не будет: последовательность $S_n$ с вероятностью $1$ совершает хаотические колебания в постепенно неограниченно расширяющихся границах, бесконечно много раз меняя знак.

P.S. wrest, Вы в какой программе моделируете игру? Насколько хорош там генератор псевдослучайных чисел?
Впрочем, в современных математических пакетах эти генераторы должны быть приемлемого качества. Просто меня немного насторожила зелёная линия на втором графике. Но если Вы много раз прогоняли модель и выбрали самый "худший" вариант, то это нормально.

[wrest]

Someone в сообщении #1279301 писал(а):

Вы в какой программе моделируете игру? Насколько хорош там генератор псевдослучайных чисел?

В экселе, насколько хорош не знаю.

[Geen]

wrest в сообщении #1279314 писал(а):

Someone в сообщении #1279301 писал(а):

Вы в какой программе моделируете игру? Насколько хорош там генератор псевдослучайных чисел?

В экселе, насколько хорош не знаю.

Несколько лет назад был очень отвратительным - даже простейшие тесты не проходил...

[wrest]

Someone в сообщении #1279301 писал(а):

Просто чем дольше продолжается игра, тем более редкие события реализуются. Поэтому понемногу величина отклонения $S_n$ от $MS_n=mn$ в среднем увеличивается.

Вот тут и вопрос - что значит "продолжается игра"?
Почему пересечение нуля является продолжением игры, а не началом новой, с учетом того, что мы считаем, что равновероятная монетка после каждого броска "забывает" свою историю?

[grizzly]

wrest в сообщении #1279322 писал(а):

Вот тут и вопрос - что значит "продолжается игра"?

Это значит, что чем длиннее наблюдаемая серия игры, тем больше шансов стать свидетелем более высокой амплитуды отклонения. А после каждого отдельного "обнуления" они такие же, как и с самого начала, конечно.

[Geen]

wrest в сообщении #1279322 писал(а):

Почему пересечение нуля является продолжением игры, а не началом новой

Просто потому, что именно так мы определили $S_n$.