Теория поля. Калибровочные поля.

[Pulseofmalstrem]

Добрый день, при изучении данного вопроса по книге В.А. Рубакова Классические калибровочные поля (Бозонные теории) возник вопрос после прочтения главы 4 неабелевы калибровочные поля. Суть данного вопроса в том, что несколько усомнился в том, что верно понял изложенный материал, поэтому ниже я изложу свое видение данного вопроса и прошу специалистов поправить меня, если где я впал в заблуждение. Заранее благодарю за помощь.

Собственно, неабелевы калибровочные поля возникают при рассмотрении теории теории поля (для простоты будем рассматривать скалярные комплексные поля лагранжиан которых инварианте относительно преобразований из группы $SU(2)$), ради конкретного примера можно обратить внимание на такое поле:
$\varphi = \begin{pmatrix} \varphi_1 \\ \varphi_2 \\ \end{pmatrix}$
Лагранжиан которого таков:
$\mathfrak{L} = \partial_{\mu} \varphi^{+}\partial^{\mu}\varphi - m^2 \varphi^{+}\varphi - \lambda(\varphi^{+}\varphi)^2$ (как красиво в техе ставить символ эрмитового сопряжения, который как крестик пишется?)

Собственно данный лагражиан инвариантен относительно глобальных преобразований из группы $SU(2)$, а для возникновения в модели калибровочного поля мы хотим выписать для наших полей новый лагранжиан, который был бы инвариантен относительно локальных преобразований из этой группы, то есть преобразований в которых матрица зависит от точки. Это приводит к возникновению ковариантной производной, в выражение для которой входит калибровочное поле, которое есть аналог векторного потенциала из электродинамики, только в силу неабелевости калибровочной группы соответствующий ему тензор напряженности выражается не только через разность производных от потенциала, но из через коммутатор. Дальше все стандартно: записываем квадратичное действие для системы исходного поля и калибровочного поля в виде суммы действия калибровочного поля (свертки тензора напряженности с собой) и для поля $\varphi$, в котором взаимодействие между калибровочным полем и исходным полем входит через ковариантную производную.

Вопрос такой: понятно, что все это модельные представления, но когда данную модель следует применять? То есть вот я нахожу некоторое поле неведомое мне поле $\varphi$ и устанавливаю его калибровочную инвариантность, что из этого автоматически следует, что существует некоторого калибровочное поле, которое устроено как описано выше, и в итоге имеется некоммутативный аналог электродинамики, в котором найденное поле выступает в роли источника (косвенно через ток, который как всегда возникает в силу теоремы Нетер) для калибровочного поля. Верно? То есть если в природе обнаруживается поле инвариантное относительно некоторой компактной группы Ли, то для него автоматически можно построить калибровочное поле, и получить содержательную теорию? Правильно ли я интуитивно вижу в калибровочном поле аналог 4-потенциала из электродинамики, а в поле $\varphi$ - аналог электрического заряда (естественно памятуя о том что аналогом электрического заряда более точным будет 4-ток, который можно получить из этого поля).

В книгах постоянно упоминают то, что вся эта бодяга происходит при малых возмущениях поля $\varphi$, то есть свободное поле $\varphi$ раскладывается по плоским волнам при решении уравнения Клейна-Гордона, а при малых возмущениях ведет себе изложенным выше образом. Мне было бы очень полезно ознакомится не с модельной теорией, а с реальным полем которое работает по такому механизму.

[Eule_A]

Pulseofmalstrem в сообщении #1278601 писал(а):

как красиво в техе ставить символ эрмитового сопряжения, который как крестик пишется?

Да, в общем, так и ставить, как Вы это сделали. Кстати, я поправил несколько опечаток у Вас.
Вот что совсем хорошо было бы - правильно расставить лоренцевы индексы в кинетическом члене. Всё-таки один из них должен быть сверху.

[Pulseofmalstrem]

Eule_A
Это, да. Но в той же самой книге Рубакова их пишут снизу, все же понимают, что в этих свертках подразумевается операция подъема индекса с помощью метрического тензора, который в СТО весьма просто устроен, так что пока нет гравитации особых трудностей быть не должно.

[Eule_A]

Pulseofmalstrem в сообщении #1278613 писал(а):

все же понимают

Порядок должен быть в любом случае.
Умолкаю.

[svv]

(Оффтоп)

Pulseofmalstrem в сообщении #1278601 писал(а):

как красиво в техе ставить символ эрмитового сопряжения, который как крестик пишется?

$\varphi^\dagger$
\varphi^\dagger

[Walker_XXI]

Pulseofmalstrem в сообщении #1278601 писал(а):

То есть если в природе обнаруживается поле инвариантное относительно некоторой компактной группы Ли, то для него автоматически можно построить калибровочное поле, и получить содержательную теорию?

В природе поле обнаруживается по своему взаимодействию, а калибровочное поле в такой схеме как раз и описывает поле-переносчик взаимодействия. Так что получается, что мы сразу имеем оба, если так можно выразиться, компонента калибровочной теории. Собственно без калибровочного поля не получится выявить калибровочную симметрию. Если внимательно посмотрите параграф 2.7 у Рубакова, то увидите, что лагранжиан свободного поля $\varphi$ не инвариантен относительно калибровочных преобразований. Инвариантность имеется только для взаимодействующих полей.

Pulseofmalstrem в сообщении #1278601 писал(а):

Правильно ли я интуитивно вижу в калибровочном поле аналог 4-потенциала из электродинамики, а в поле $\varphi$ - аналог электрического заряда (естественно памятуя о том что аналогом электрического заряда более точным будет 4-ток, который можно получить из этого поля).

Правильно. Только это не интуитивно, а скорее подсознательно: Рубаков об этом пишет открытым текстом. Более того, все калибровочные поля можно рассматривать как связности в главном расслоении. Более подробно (но крайне кратко) об этом можно почитать, например, у Славнова А.А и Фаддеева Л.Д. ("Введение в квантовую теорию калибровочных полей"). Там смотрите параграф 2 (геометрическая интерпретация калибровочных полей). А параграф 1 (да и вся книга) - как раз по вопросу

Pulseofmalstrem в сообщении #1278601 писал(а):

Мне было бы очень полезно ознакомится не с модельной теорией, а с реальным полем которое работает по такому механизму.

Что касается "аналога электрического заряда", то тут правильнее говорить о заряженных полях и заряженных токах, поскольку заряд - это всё-таки не поле, а определённое квантовое число, даваемое оператором заряда (правда, в общей теории удобнее оказывается оператор так называемого гиперзаряда).

(Оффтоп)

Pulseofmalstrem в сообщении #1278613 писал(а):

Это, да. Но в той же самой книге Рубакова их пишут снизу, все же понимают, что в этих свертках подразумевается операция подъема индекса с помощью метрического тензора, который в СТО весьма просто устроен, так что пока нет гравитации особых трудностей быть не должно.

Трудность скорее связаны с нетрадиционностью обозначений. Не различать верхние и нижние индексы было бы логично при тривиальной сигнатуре метрики. А так различие всё же имеется. Я не припомню, чтобы встречал такое "безразличие" к индексам в других монографиях или учебниках. Более того, не вижу от этого никаких выгод, а лишь мелкие неприятности, когда суммирования по индексам нет.
Хотя нет. Те же Славнов и Фаддеев тоже индексы не поднимают. И объясняется это тем, что место вверху зарезервировано под групповые (в смысле не группы Лоренца) индексы

[Pulseofmalstrem]

Тогда в данной же теме спрошу еще одно:
в настоящий момент я практически освоил первый том Рубакова про бозоны, однако второй том вызывает трудности, так как мне сложно разобраться с уравнением Дирака. На настоящий момент я знаю КМ в объеме стандартного зимне-семестрового курса МФТИ (то есть общие представление, одномерное движение, умею квантовать гармонический осциллятор и знаю про угловые моменты и теория возмущений само собой., однако сама тема уравнения Дирака в курсе хоть и упоминалась, но не достаточно подробно)
Можете посоветовать хороший учебник, где можно разобраться в релятивисткой КМ, чтобы можно было продолжить мои занятия по теории поля, которые я провожу в рамках самообразование в дополнение к вузовскому курсу.

[Metford]

Pulseofmalstrem в сообщении #1278656 писал(а):

Можете посоветовать хороший учебник, где можно разобраться в релятивисткой КМ

Попробуйте классику - Бьёркен и Дрелл "Релятивистская квантовая теория". Вряд ли об уравнении Дирака найдёте понятнее и подробнее.
Ещё можно Э. Зи "Квантовая теория поля в двух словах". Для начала мне эта книга меньше нравится, но это может быть вопрос вкуса.

[physicsworks]

Pulseofmalstrem в сообщении #1278656 писал(а):

Можете посоветовать хороший учебник, где можно разобраться в релятивисткой КМ, чтобы можно было продолжить мои занятия по теории поля, которые я провожу в рамках самообразование в дополнение к вузовскому курсу.

В. Киселев "Квантовая механика"

[Walker_XXI]

Pulseofmalstrem в сообщении #1278656 писал(а):

в настоящий момент я практически освоил первый том Рубакова про бозоны, однако второй том вызывает трудности
<...>
Можете посоветовать хороший учебник, где можно разобраться в релятивисткой КМ, чтобы можно было продолжить мои занятия по теории поля

Немножко странная просьба. Начиная с того, что «релятивистская КМ» = «квантовая теория поля». А КТП начинается с теории классических полей (систем с бесконечным числом степеней свободы). Чтобы разобраться в КТП сперва нужно разобраться в классической теории поля, а не наоборот. С другой стороны, книги В.Рубакова вроде как и должны быть таким учебником, с которого начинаются "разборки" с КТП. Но если не пошло, то, в добавок уже предложенному выше, могу посоветовать:
Л. Райдер. "Квантовая теория поля".
Весьма доходчивое и прозрачное изложение.

[Walker_XXI]

Pulseofmalstrem
Кстати, заглянул в учебник В.Рубакова, а там в конце есть список литературы к части 1 (учебники, монографии...). На первом месте, естественно, Боголюбов-Ширков. Но этот учебник, на мой взгляд, сложноват для Ваших целей - потому его и не советовали.

[Pulseofmalstrem]

Walker_XXI
Ну мои цели довольно просты: так как я намерен идти в магистратуру и аспирантуру после окончания института, то мне уже пора выбирать профиль и следуя своим увлечениям я думаю, что так или иначе буду работать в области квантовой теории поля, так что я не теряя времени пополняю свой кругозор по теме, стараюсь выработать стиль мысли правильный.

[Walker_XXI]

Pulseofmalstrem
Я к тому, что лучше предмет изучать более-менее последовательно. У Рубакова - классические поля, интересные в ряде приложений сами по себе. В принципе, там у него в предисловии всё и написано - необходимость знакомства с КМ появляется довольно поздно. А Боголюбов-Ширков много внимания уделяют собственно квантованию полей и матрице рассеяния. Хотя начальные главы будут полезными.
Чтобы быть "на ты" с уравнением Дирака желательно отдельно ознакомиться с теорией алгебр и групп Ли, а также с представлениями группы Лоренца (Пуанкаре) вообще и спинорными в частности. Кстати, вспомнил ещё одну любопытную книжку:
Боголюбов, Логунов, Тодоров "Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля".

А учебники Рубакова у меня оставили смешанное впечатление. Первая книга показалась слишком конспективной, вроде как формализованной, но без особой математической строгости (возможно в расчёте на то, что это всё известно из других курсов). С одной стороны, рассматриваются довольно серьёзные и глубокие вопросы, но остаётся впечатление поверхностности и беглости, много интересного осталось за рамками. Хотя, скажу честно, книгу не изучал - смотрел "по диагонали".

[Metford]

Walker_XXI в сообщении #1278931 писал(а):

Чтобы быть "на ты" с уравнением Дирака желательно отдельно ознакомиться с теорией алгебр и групп Ли, а также с представлениями группы Лоренца (Пуанкаре) вообще и спинорными в частности.

Золотые слова Ваши. Это не первого шага, конечно, но для второго - уже точно.
Со своей стороны могу для этого посоветовать книгу Гельфанда, Минлоса, Шапиро "Представления группы вращений и группы Лоренца".

Pulseofmalstrem
Изучать КТП - если серьёзно этим делом заниматься - нужно аккуратно, не спеша. Вот я выше Вам книгу назвал для начала. Если её осилите - оба тома, то можно переходить к более сложным книгам вроде Пескина и Шрёдера. И математика должна быть на неплохом уровне. Во всяком случае о теории групп нужно точно иметь хорошее представление.

[Pulseofmalstrem]

Metford
Так сложилось, что математика - одно из моих любимейших занятий, так что я ее осваиваю параллельно. Так что о группах я имею понятие (не буду заявлять, что разбираюсь, но, пожалуй, скажу что имею представление об этой теории, ее методах и идеологии). К сожалению, с теорией групп Ли и дифференциальных многообразий я знаком уже сильно хуже - в свое время так и не смог найти автора, который бы дал ясное изложение этого предмета.