В чем ошибка азартного игрока?

[schekn]

Дело в том, что в XIX веке ученые еще не умели теоретически описывать процессы случайного блуждания, а следовательно, и наблюдаемые зигзагообразные траектории броуновских частичек. Господствовало заблуждение, согласно которому отдельные столкновения пробной частицы с молекулами окружения, налетающими с разных сторон с равной вероятностью, уравновесят друг друга и дадут в среднем нулевое смещение. Поэтому-то научная общественность и не приняла разумную и, как оказалось потом, правильную гипотезу, приведенную выше. На самом деле рассуждения о неизбежном усреднении влияния случайных толчков глубоко ошибочны!

Как указывал Смолуховский, допущенная ошибка сродни той, которую часто делает неосторожный игрок в азартные игры. Этому игроку кажется, что при «честной» игре со случайным результатом в каждом туре (например, при подбрасывании монеты) и неизменными ставками проигрыш после достаточно продолжительной игры не может превысить одну ставку. На самом деле это ошибка, могущая стать роковой для игрока. Как следует из теории вероятностей, случайный проигрыш (или эквивалентный ему выигрыш) в азартной игре такого сорта пропорционален квадратному корню из числа туров (подбрасываний монеты). Доказательство этого вывода принадлежит Смолуховскому.

http://www.physbook.ru/index.php/Kvant._Смолуховский

В этой статье про Мариана Смолуховского во втором абзаце говорится про ошибку азартного игрока.
Не могли бы пояснить суть этой ошибки и как это связано с броуновским движением?
Я так понимаю, игрок делает постоянно одну и ту же ставку скажем на красное и играет достаточно долго.
А в чем может заключаться его стратегическая или эмоциональная ошибка?

[grizzly]

schekn в сообщении #1278602 писал(а):

А в чем может заключаться его стратегическая или эмоциональная ошибка?

Игроку кажется, что если до его хода 10 раз подряд выпадало красное, то шансы выпадения чёрного на следующий раз выше чем 1/2. А на самом деле чуть ниже.

[Pphantom]

Возьмем самую простую модель игры: игрок играет в рулетку без зеро, стабильно ставит на цвет одну и ту же сумму, при неудаче ее проигрывает, при удаче - возвращает ставку и получает еще столько же. В этом случае случайный процесс, представляющий собой зависимость денег на руках игрока от времени, ничем не отличается от одномерного дискретного случайного блуждания (где координата - деньги игрока в данный момент, а расстояние между положениями - величина ставки), и для него верен результат, полученный Эйнштейном и Смолуховским - средний квадрат отклонения от стартовой позиции (т.е. начальной суммы денег) линейно растет со временем. Грубо говоря, после $n$ ставок наличные деньги игрока могут с примерно равной вероятностью оказаться в любом возможном значении в некотором симметричном относительно исходной суммы интервале, причем этот интервал расширяется со временем.

Проблема (для игрока) в том, что у этого случайного процесса есть поглощающее состояние. Когда сумма у игрока оказывается нулевой, игра заканчивается, а вышеизложенное означает, что игрок, играющий достаточно долго, рано или поздно в это состояние попадет. Соответственно, при любой стартовой сумме игрок рано или поздно ее проиграет.

-- 25.12.2017, 16:59 --

Кстати, у той же ситуации есть еще одна "жизненная" модель: пьяница, перемещающийся вдоль прямой и каждый раз делающий шаг либо вперед, либо назад (с вероятностью $1/2$ каждый). Он тоже будет статистически "расползаться" симметрично относительно исходного положения, а полной аналогия с игроком будет, если на каком-то расстоянии от исходного положения будет обрыв. Рано или поздно пьяница в него свалится.

[Someone]

schekn в сообщении #1278602 писал(а):

А в чем может заключаться его стратегическая или эмоциональная ошибка?

Стратегическая ошибка состоит в том, что он играет против "игрока", капитал которого во много-много раз больше, а в такой ситуации азартный игрок разоряется практически гарантированно (при игре против игрока с бесконечным капиталом — с вероятностью $1$), даже если эта игра "справедливая", то есть, математическое ожидание выигрыша равно $0$. А в казино (или игральном автомате) математическое ожидание выигрыша обычно отрицательное, так что разорение наступает гораздо быстрее.

Вообще, очень интересно почитать книгу В. Феллера "Введение в теорию вероятностей и её приложения. Том 1." (Москва, "Мир", 1984). Глава III целиком посвящена странному поведению "правильной" монеты, вопиюще противоречащему бытовой интуиции.

[schekn]

Да , понятно. Спасибо.
А если он смотрит, как играет сосед и если часто выпадает красное, то ставит на черное, выигрывает и опять затаивается. Такая стратегия более правильная?

[mihaild]

Если рулетка честная (красное и черное равновероятны, результаты последовательных запусков независимы), то "правильной" стратегии не существует, и смотреть на предыдущие результаты бесполезно.

[upgrade]

mihaild в сообщении #1278620 писал(а):

Если рулетка честная (красное и черное равновероятны, результаты последовательных запусков независимы), то "правильной" стратегии не существует,

А постоянное повышение ставки?

[Pphantom]

upgrade в сообщении #1278622 писал(а):

А постоянное повышение ставки?

Тот же эффект только усиливается, падение в поглощающее состояние произойдет быстрее.

[wrest]

upgrade в сообщении #1278622 писал(а):

А постоянное повышение ставки?

Это не гарантия выигрыша. Ну и денег надо много, на случай если не повезёт. В этом случае "правильная" стратегия, как мне кажется, если уж ввязался, то все время удваивать ставку и забирать деньги (одну монету) при первом же выходе "в плюс". Тогда с вероятностью 99% потребуется не более 7 ставок чтобы уйти "в плюсе", так что чтобы не проиграть с вероятностью 99%, нужен запас денег в 256 раз превышающий начальную ставку. Для вероятности ухода "в плюс" равной 99,9% потребуется запас денег в 4096 раз превышающий начальную ставку.

[upgrade]

Pphantom
wrest
Да уж. Равноправность любой стратегии подавляет. Стратегия - это, я так понимаю, одно из подмножеств множества всех событий.

[wrest]

upgrade в сообщении #1278630 писал(а):

Да уж. Равноправность любой стратегии подавляет.

Ну вот если ставить все время фиксированную ставку на цвет (красное-черное), то за 1000 игр проиграете примерно 20-80 ставок, так что проигрыш относительно небольшой, но времени убьете много, плюс адреналин. Но может и выиграете, конечно, немножко.
То есть тут вы как бы платите в казино за удовольствие от процесса.

[Евгений Машеров]

Обсуждение было здесь
topic83010.html

[atlakatl]

wrest в сообщении #1278626 писал(а):

Это не гарантия выигрыша. Ну и денег надо много, на случай если не повезёт. В этом случае "правильная" стратегия, как мне кажется, если уж ввязался, то все время удваивать ставку и забирать деньги (одну монету) при первом же выходе "в плюс".

Это главная ошибка азартного игрока: считать свою стратегию верной. Интересно и построение тезиса:
1. Удвоение НЕ ГАРАНТИЯ.
2. Но ЕСЛИ ДЕНЕГ МНОГО...
3. ПРАВИЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ.
Достаточно составить программу, моделирующую вашу стратегию.
При этом надо учитывать:
1. Вероятность выигрыша 1:1 с проигрышем 18/37<1/2.
2. Размер ставки ограничен казино. Скажем, [100; 10000] рублей.
3. В долг не играем. Сколько с собой принёс, столько и можно тратить. Скажем, 1000000 рублей.
4. Число походов в казино, скажем, 1 000 000. - Дабы флуктуаций поменьше случалось.
Предлагаю описать - и проверить программно - свою стратегию при данных условиях. Остальные проверят её на разных языках программирования.

[wrest]

atlakatl
Я ж написал сколько надо денег для какой вероятности унести ноги без потерь - вы почитайте хоть
Да и вообще внимательнкй почитайте - где кавычки поставлены, как вообще сформулировано...

[atlakatl]

wrest
Пошли смайлики.
Нет уж, предлагаю говорить в терминах реального казино. Да и не может стратегия удвоения не работать при 12 шагах - и начать работать с 32 шага. Не видно в ней оснований для перегибов и экстремумов.
Ну и Ваш тезис:

wrest в сообщении #1278626 писал(а):

с вероятностью 99% потребуется не более 7 ставок чтобы уйти "в плюсе"

тогда объясните. Он, кстати, почти влезает в обозначенный мной диапазон: $2^7 \cdot 100=12 800$ рублей. Пусть будет так. Так сколько игрок тогда выиграет при 1 000 000 походов в казино?