Сколько фигур на доске?

[Ktina]

Ярдена расставила несколько (возможно, 0) шахматных фигур на доску $8\times 8$.
Шуламит заметила, что в каждом прямоугольнике $1\times 5$ (или $5\times 1$) стоит одинаковое количество фигур.
А Мэри заметила, что в каждом прямоугольнике $2\times 3$ (или $3\times 2$) стоит одинаковое количество фигур.

Сколько фигур было выставлено на доску?
(укажите все варианты и докажите, что других нет)

[wrest]

Будем рассматривать случаи, когда Шуламит заметила от 0 до 5 фигур.

Случай 0 - подходит, в том числе для Мэри, которая тоже увидит 0.
Случай 5 (всего фигур 64) - подходит, в том числе для Мэри, которая увидит для в каждом своем прямоугольнике 6 фигур.

Случай 1. Аккуратное построение на доске показывает, что в случае если Шуламит насчитала одну фигуру, Мэри насчитает 0,1 или 2 фигуры, так что такой случай запрещен.

Случай 4. Аналогичен случаю 1, только вместо заполненных клеток будут пустые, и Мэри насчитает 6, 5 или 4 фигуры.

Остаются случаи 2 и 3, там вариантов по два, и оба не подходят Мэри.

Итого: 0 фигур или 64 фигуры, других вариантов нет.

Поясняю.

Красным отмечены клетки куда можно ставить фигуры для того чтобы Шуламит насчитала 1 фигуру в любом прямоугольнике 1x5
Доску можно ставить как хочешь: черным отмечен один вариант, оранжевым еще один.

Синим отмечены клетки на которые надо поставить фигуры чтобы в каждом прямоугольнике 1х5 было две фигуры, тут ясно что синие единицы можно перемещать все одновременно на любое количество клеток вверх-вниз но так чтобы не закрыть красные.

Такая же ситуация если в каждом прямоугольнике 1х5 надо закрыть 3 и 4 клетки фигурами.

[EUgeneUS]

1. Рассматривая и двигая прямоугольники $3\times 2$, легко заметить , что центральный квадрат $2\times2$ должен обладать свойством: его диагональные клетки "одинаковы", то есть по диагонали либо есть фигуры, либо нет.

2. Всего три варианта:
а) В центральном квадрате вообще нет фигур. Двигая прямоугольники $3\times 2$, получаем, что фигур вообще нет.
б) В центральном квадрате на каждой клетке стоит фигура. Двигая прямоугольники $3\times 2$, получаем, что все клетки заняты фигурами.
в) В центральном квадрате на одной диагонали стоят фигуры, на другой - нет. Двигая прямоугольники $3\times 2$, аккуратно заполняем оставшуюся доску и в углах приходим к противоречию с условием на прямоугольники $5\times 1$. Есть небольшая хитрость, как заполнять, чтобы все варианты за один раз рассмотреть.

[Ktina]

wrest
EUgeneUS
Большое спасибо!