2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сколько фигур на доске?
Сообщение25.12.2017, 11:36 
Аватара пользователя


01/12/11
8241
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Ярдена расставила несколько (возможно, 0) шахматных фигур на доску $8\times 8$.
Шуламит заметила, что в каждом прямоугольнике $1\times 5$ (или $5\times 1$) стоит одинаковое количество фигур.
А Мэри заметила, что в каждом прямоугольнике $2\times 3$ (или $3\times 2$) стоит одинаковое количество фигур.

Сколько фигур было выставлено на доску?
(укажите все варианты и докажите, что других нет)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько фигур на доске?
Сообщение25.12.2017, 13:06 


05/09/16
5599
Будем рассматривать случаи, когда Шуламит заметила от 0 до 5 фигур.

Случай 0 - подходит, в том числе для Мэри, которая тоже увидит 0.
Случай 5 (всего фигур 64) - подходит, в том числе для Мэри, которая увидит для в каждом своем прямоугольнике 6 фигур.

Случай 1. Аккуратное построение на доске показывает, что в случае если Шуламит насчитала одну фигуру, Мэри насчитает 0,1 или 2 фигуры, так что такой случай запрещен.

Случай 4. Аналогичен случаю 1, только вместо заполненных клеток будут пустые, и Мэри насчитает 6, 5 или 4 фигуры.

Остаются случаи 2 и 3, там вариантов по два, и оба не подходят Мэри.

Итого: 0 фигур или 64 фигуры, других вариантов нет.

Поясняю.
Изображение
Красным отмечены клетки куда можно ставить фигуры для того чтобы Шуламит насчитала 1 фигуру в любом прямоугольнике 1x5
Доску можно ставить как хочешь: черным отмечен один вариант, оранжевым еще один.

Синим отмечены клетки на которые надо поставить фигуры чтобы в каждом прямоугольнике 1х5 было две фигуры, тут ясно что синие единицы можно перемещать все одновременно на любое количество клеток вверх-вниз но так чтобы не закрыть красные.

Такая же ситуация если в каждом прямоугольнике 1х5 надо закрыть 3 и 4 клетки фигурами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько фигур на доске?
Сообщение25.12.2017, 13:30 


11/12/16
4537
1. Рассматривая и двигая прямоугольники $3\times 2$, легко заметить :D, что центральный квадрат $2\times2$ должен обладать свойством: его диагональные клетки "одинаковы", то есть по диагонали либо есть фигуры, либо нет.

2. Всего три варианта:
а) В центральном квадрате вообще нет фигур. Двигая прямоугольники $3\times 2$, получаем, что фигур вообще нет.
б) В центральном квадрате на каждой клетке стоит фигура. Двигая прямоугольники $3\times 2$, получаем, что все клетки заняты фигурами.
в) В центральном квадрате на одной диагонали стоят фигуры, на другой - нет. Двигая прямоугольники $3\times 2$, аккуратно заполняем оставшуюся доску и в углах приходим к противоречию с условием на прямоугольники $5\times 1$. Есть небольшая хитрость, как заполнять, чтобы все варианты за один раз рассмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько фигур на доске?
Сообщение25.12.2017, 16:21 
Аватара пользователя


01/12/11
8241
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
wrest
EUgeneUS
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group