Для двух базисов идеала аффинные многообразия совпадают

[vpb]

Я думаю так. Сейчас более целесообразно, не чтоб я Вам подсказывал, а чтобы Вы сначала немного почитали основные сведения о многочленах, по книжкам Кострикина "Введение в алгебру" или Винберга "Курс алгебры", а потом сами подумали над этой локальной задачей (т.е. почему не существует многочленов $f(x,y)$, $g(x,y)$ таких, что $f(x,y)\cdot (x^3 - xy) + g(x,y) \cdot y^3 = x$). Когда это сделаете (или же в тупик с этим вопросом зайдете), имеет смысл вернуться к обсуждению.
Видите ли, то, что Вы пишете, что что-то с чем-то сокращается, или наоборот не может сокращаться, это туманно, но Вы этого не видите. А почитав книжки (не от корки до корки, конечно, а только кое-что о многочленах!), этот туман может рассеяться. А пока туман есть, он Вам будет мешать изучать что-то из алгебраической геометрии. Такие дела.

[Aoizora]

Хорошо, я послушаюсь вашего совета.

[vpb]

Хочу еще уточнить. Вообще-то "локальная задача", упомянутая выше, очень простая, там буквально школьное решение. Но почитать Кострикина или Винберга все равно полезно. С той точки зрения, что в Литл-Кокс-ОШи общий алгебраический фундамент какой-то слишком слабый.

[Aoizora]

Я думаю, правильный ответ на ваш вопрос можно дать при помощи алгоритма Евклида и выражении НОД как линейной комбинации. Здесь НОД двух многочленов не будет равен $x$. Скорее всего, они взаимно просты. Но не буду гадать и вспоминать остаточные знания, а лучше почитаю Кострикина.

[INGELRII]

Я не знаю, может я туплю, но почему эту задачу нельзя решить в лоб? Пусть некоторый полином $h$ принимает нулевые значения на левом многообразии. Тогда он должен как-то разлагаться по базису $f_i$. Значит, он как-то разлагается и по базису $g_i$, коль скоро эти базисы задают один и тот же идеал. Значит, $h$ принимает нулевые значения и на правом многообразии. То же самое доказывается и в обратную сторону. Но если левое и правое многообразия доставляют нулевые значения для одних и тех же полиномов, то они равны.

Что не так?

[vpb]

Напишу пока краткий комментарий, подробнее может несколько позже.
Во-первых, то, что написал INGELRII, неверно. Но сейчас это оффтоп.
Во-вторых, проблема не в том, чтобы объяснить, почему $V(f_1,\ldots,f_m)=V(g_1,\ldots,g_n)$, (это можно сделать в пять строчек), --- а в том, чтоб разобраться с некоторыми пробелами в знании и понимании, которые есть у ТС, и до некоторой степени их исправить.
В третьих, с "локальной задачей" всё гораздо проще. Но почитать Кострикина в любом случае дело хорошее.

[vpb]

INGELRII,
Вот это утверждение

INGELRII в сообщении #1278616 писал(а):

Пусть некоторый полином $h$ принимает нулевые значения на левом многообразии. Тогда он должен как-то разлагаться по базису $f_i$.

неверно. Легко найти пример двух многочленов $f$, $g$, даже от одной переменной, для которых $f$ обращается в нуль на $V(g)$, однако $f\notin\langle g\rangle$. Кроме того,

INGELRII в сообщении #1278588 писал(а):

Значит, $h$ принимает нулевые значения и на правом многообразии.

для этого надо, чтобы $V(f_1,\ldots,f_s)\supseteq V(g_1,\ldots,g_t)$. А это одно из утверждений, которые и надо доказать, порочный круг получается. В общем, у Вас в этом абзаце путаница в целом. Наконец, по моим сведениям, Вы сами с этой тематикой познакомились лишь недавно, поэтому, вижу, понимаете ее пока недостаточно хорошо, и вследствие этого Ваши комментарии могут ввести ТС в заблуждение.

Aoizora,
1) алгоритм Евклида для многочленов от двух и более переменных не применяется, разве что в некотором обобщенном смысле (поскольку в кольце многочленов от двух переменных не всякий идеал главный).
2) Вот небольшая подсказка, более простая задача. Рассмотрим три многочлена от одной переменной $f_1=x+2$, $f_2=x^3-x^2$, $f_3=x^5-3x^4+x^2$. Как доказать, что $f_1\notin\langle f_2,f_3\rangle$ ?
(Отвечать прямо сейчас не обязательно. Если Вы пока увлеклись чтением Кострикина, что можно только приветствовать, то можно и отложить).