Геометрия. Задачи из Понарина. Том 1. Часть 1. Планиметрия

[fred1996]

Решил освоить геометрию по трехтомнику Понарина.
И уже в первом параграфе испытал некоторый затык.
Параграф посвящен углам, ассоциированным с окружностями.
К параграфу прилагается 8 задач.
Я решил пока только четыре: 1,2,3,8.
Но опубликую их все. Мне кажется, они не самого примитивного уровня.
И могут быть полезными для углубленного изучения геометрии.
Предлагается не выкладывая полных решений публиковать конструктивные идеи.

Задачи
1.1. Не пользуясь формулами площади треугольника, докажите, что высота треугольника равна произведению не соответственных ей сторон, деленному на диаметр описанной около
этого треугольника окружности.

1.2. Две окружности касаются внешне в точке $A$. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается их в точках $M$ и $N$. Докажите, что угол $MAN$ прямой.

1.3. Две окружности касаются внутренним образом в точке $S$. Хорда $AB$ большей окружности касается меньшей окружности в точке $P$. Докажите, что луч $SP$ делит угол $ASB$ пополам.

1.4. В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник $ADE$, принадлежит первой окружности.

1.5. В окружность вписан четырехугольник $ABCD$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ являются соответственно серединами дуг $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Докажите, что прямые $A_1C_1$ и $B_1D_1$ перпендикулярны.

1.6. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Биссектрисы его углов $A$, $B$, $C$ пересекают эту окружность соответственно в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

1.7. Прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, содержащие высоты остроугольного треугольника $ABC$, пересекают описанную около него окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$. Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы углов треугольника $A_1B_1C_1$.

1.8. Биссектрисы углов $B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Биссектриса угла $C$ вторично пересекает описанную около треугольника $ABC$ окружность в точке $D$. Докажите, что $AD = DI$.

Переносы убрал. Смысл публикации простой. Изучаю геометрию. Прошу помощи разобраться.
Если у кого есть ссылка на решебник в сети, буду признателен. Очевидно что я не учащийся и не халявщик. Просто последнее время геометрия покоя не дает. Ну и потом ищу соратников по этому благому делу. Мне кажется подобрал подходящий учебник-задачник. Поначалу публиковал задачи повышенной сложности в олимпиадном отделе. Но мне они там пока не по зубам. Хотя ответы есть на руках. Задумка же простая - за короткое время прорешать все задачки из этого пособия, может быть в составе коллектива энтузиастов.
Может имеет смысл сразу перенести тему в раздел Геометрия, чтобы здесь не мозолила глаза.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- по меньшей мере надо убрать переносы в условиях;
- неясен смысл публикации на форуме задач из общедоступного(?) задачника.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

1.2. Проведите касательную в т. $A$
1.3.Гомотетия из $S$, переводящая малую окружность в большую: куда она переводит хорду?
1.4. Вписанная окружность пересекает $AO$ в точке $P$. Что больше: $AP$ или $AD$? По Brukvalub - лучше...Или так: следует из 1.8.
1.5, 1.6. Угол меж хордами равен полусумме дуг...
1.7. Считаем вписанные углы...
1.8. Сосчитать углы в ADI/

[Brukvalub]

1.4: треугольник $ADE$ - равнобедренный, поэтому биссектриса угла $A$ делит дугу DE пополам, если биссектриса угла $A$ пересекает эту дугу в т. $O$ , то углы $ADO$ и $ODE$ измеряются равными дугами.

-- Вс дек 24, 2017 23:54:05 --

1.6. Биссектриса угла треугольника делит дугу, стягиваемую противолежащей углу стороной, пополам, а угол между хордами равен полусумме высекаемых хордами дуг.

[fred1996]

DeBill
Brukvalub
Спасибо. Разобрался. В паре задач еще невнимательно условия прочитал.