Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция

[nds]

А к чему все эти сложности?

"В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны."

Линейкой и циркулем наверно проще чем уравнениями.

[provincialka]

nds в сообщении #1278235 писал(а):

наверно проще чем уравнениями

ну, расскажите, как именно...

[grizzly]

nds в сообщении #1278235 писал(а):

Линейкой и циркулем наверно проще чем уравнениями.

В учебных задачах, про которые известно заранее, что решение существует, начертить почти всегда проще, чем решить аналитически. Но если нужно доказать, что построение невозможно, то это только аналитически. Ещё хуже, когда неизвестно, существует решение или нет -- тогда приходится по разному пробовать.

[Race]

DeBill,
правильно ли я Вас понял, что для данной постановки задачи инверсия плоскости с дальнейшим построением и обратной инверсией будут являться не равносильными операциями.
Хотелось бы где то ознакомиться с подобными критериями относительно метода инверсии, а то по утверждениям встречающимся в первоисточниках все должно выйти, а в реальности нет.

[grizzly]

Race в сообщении #1278254 писал(а):

Хотелось бы где то ознакомиться с подобными критериями относительно метода инверсии, а то по утверждениям встречающимся в первоисточниках все должно выйти, а в реальности нет.

Конкретно по этой задаче у Вас была очень неплохая попытка. А опыт ошибок -- тоже не самый худший учитель. Важно, что Вы сами заметили, что что-то не так.

По поводу свойства инверсии "центр окружности не переходит в центр" можно посмотреть на странице Википедии (с анимацией) или, что лучше, теорему 2 на странице 11 здесь. Вообще, последнее -- неплохая брошюра, имхо.

-- 24.12.2017, 15:30 --

Поспешил, в теореме 2 об этом нет. Но попробуйте лучше самостоятельно подумать: представьте окружность до инверсии и после. Соедините центры этих окружностей. Они лежат на соответствующих (при инверсии) диаметрах. Какая же это будет инверсия, если и крайние точки диаметра и его средина перейдут в крайние точки и в средину, соответственно? Стоит над этим вопросом задуматься, и всё должно стать понятным.

[nds]

provincialka в сообщении #1278236 писал(а):

ну, расскажите, как именно...

Ну, ещё нужно вспомнить, что окружность можно описать только около равнобокой трапеции $AB+DC=2AD$

Если $O$ - центр описанной окружности, то углы $AOD = BOC = 90^{\circ}$

Построить перпендикуляры $AOD$ и $BOC$ наверно не составит труда.

[grizzly]

nds в сообщении #1278305 писал(а):

Если $O$ - центр описанной окружности, то углы $AOD = BOC = 90^{\circ}$

Ничего не перепутали?

[provincialka]

(to nds)

Все-таки не зря ведь народ мозги ломает.. было бы просто -- мы бы уж решили! Коллективно-то...

[nds]

$AB+DC=AD+BC$ это хорды, соответственно углы тоже равны.
Я что, действительно туплю?

-- 24.12.2017, 20:08 --

$AD=BC$ -- это второе условие

[DeBill]

Race в сообщении #1278254 писал(а):

инверсия плоскости с дальнейшим построением и обратной инверсией будут являться не равносильными операциями.

Да (в смысле, это не равносильно исходной задаче).

Race в сообщении #1278254 писал(а):

метода инверсии

Метод - хорош, если речь идет о точках пересечения прямых/окружностей. Но дает сбои, когда приходится иметь дело с метрическими соотношениями (типа "середина отрезка", середина дуги, центр окружности,....)

[grizzly]

nds в сообщении #1278305 писал(а):

Если $O$ - центр описанной окружности, то углы $AOD = BOC = 90^{\circ}$

Вот это условие не для описанной окружности, а для вписанной. И пользы нам от него?

[nds]

grizzly
Да, я ошибся сравнивая центральные углы, а нужно было синусы полууглов.

Но трапеция почти построилась, на уровне погрешности в толщине карандаша)

[grizzly]

nds в сообщении #1278351 писал(а):

Но трапеция почти построилась

Это не убедительно, Вы должны понимать. Ставлю 3 очка репутации, что Вы ошиблись.

[Race]

DeBill, grizzly,

спасибо, жаль, думал получится красиво уйти от параболы.

Думаю если строить через точки касания вписанной окружности к одной из боковых сторон и второму основанию ситуация не изменится( При помощи инверсии мы все построим, но при обратной инверсии все улетит в тартарары.

Нсли рассмотреть точки касания вписанной окружности к сторонам трапеции буем иметь:
$AB=2x; BC=DA=x+y; CD=2y$;
соответственно задачу можно интерпритировать в построения окружности касательной окружности (с центром в т. $A$ и с радиусом $AB$) и некоторой прямой, проходящей через середину отрезка $AB$ и совпадающей со второй средней линией трапеции, и (к сожалению скользкий момент) с центром в точке $O$ принадлежащей заданной окружности $w$.
Как мне кажется, при обратной инверсии, мы снова потеряемили точку касания с прямой или центр окружности.

[grizzly]

Race в сообщении #1278364 писал(а):

Как мне кажется, при обратной инверсии, мы снова потеряемили точку касания с прямой или центр окружности.

Вот так нарабатывается чутьё