Почему вероятность ∈ [0; 1]?

[mihaild]

Зависит от генератора. Например, для отличного генератора случайных чисел return 1; она равна $1$.

[atlakatl]

92285 в сообщении #1278191 писал(а):

генератор случайных чисел, который генерирует произвольные целые нечётные числа

Произвольное целое в интервале $]-\infty;+\infty[$ это бесконечно большое число с вероятностью, стремящейся к 1. Генератор заклинит на первой итерации.
Конечно, можно генерировать только последние 6 цифр и знак числа. Тогда $p=1/2$ - чисто из симметрии области $\Omega$

[92285]

mihaild в сообщении #1278128 писал(а):

В аксиомы вероятностного пространства входит $P(\Omega) = 1$. Если у вас это не выполнено - то у вас просто пространство с мерой.

Здесь вы правы, в моей формулировке ошибка.

mihaild в сообщении #1278128 писал(а):

92285 в сообщении #1278003 писал(а):

если $\textsf{P}(\Omega) = 0$, то $\forall A:\textsf{P}(A)=0$, и полагаем по определению $p(\Omega) = 0$, дальше всё опять сходится с обычной теорией вероятностей

Нет, не сходится (см. выше). Ну и если мера любого множества равна нулю, то вряд ли мы что-то интересное из этого получим.

Во-первых: если в последнем пассаже заменить определение $p(\Omega) = 0$ на $p(\Omega) = 1$, тогда этот случай будет сходиться с общепринятой теорией вероятностей?
Во-вторых: а как вообще в общепринятой теории вероятностей обходятся со случаями, когда вероятность каждого события из рассматриваемой алгебры событий равна 0?

mihaild в сообщении #1278128 писал(а):

Вы пока что не определили "понятие доли" ни для какого случая (я внимательно прочитал ваш измененный пост и не нашел в нем ничего похожего на "Определение. Пусть ... Долей будем называть ...").

Видимо, я неудачно выразился. Попробую переформулировать: меня интересует, можно ли построить теорию вероятностей так, чтобы сохранить интуитивное представление о том, что всякая вероятность есть не просто число между 0 и 1, а доля некоторой части от некоторого целого, содержащего эту часть. Речь идёт не о том, чтобы ввести определения «доли», «целого» и «части», а о том, чтобы вышеизложенную идею отразить в теории строгим формальным образом. Тогда тот факт, что вероятность всего пространства исходов равна 1, будет не «произвольной» аксиомой, а следствием из более базовых посылок.

-- 24.12.2017, 02:45 --

mihaild в сообщении #1278193 писал(а):

Зависит от генератора. Например, для отличного генератора случайных чисел return 1; она равна $1$.

Мне всегда казалось, что генератор случайных чисел должен быть способен равновероятно сгенерировать любое число из определённого множества. В предложенном мной случае это множество всех целых нечётных чисел, а не множество, состоящее из одного числа 1.

-- 24.12.2017, 02:50 --

atlakatl в сообщении #1278196 писал(а):

Произвольное целое в интервале $]-\infty;+\infty[$ это бесконечно большое число с вероятностью, стремящейся к 1. Генератор заклинит на первой итерации.

Мы говорим о математических объектах или о реально существующих физических устройствах? Если первое, то я не понимаю, как идеальный генератор может «заклинить». Если второе, то число 1 не существует в физической реальности.

atlakatl в сообщении #1278196 писал(а):

Конечно, можно генерировать только последние 6 цифр и знак числа. Тогда $p=1/2$ - чисто из симметрии области $\Omega$

А в теории вероятностей есть понятие симметрии?

[mihaild]

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

Во-первых: если в последнем пассаже заменить определение $p(\Omega) = 0$ на $p(\Omega) = 1$,

Да, тогда получится ровно стандартное определение.

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

как вообще в общепринятой теории вероятностей обходятся со случаями, когда вероятность каждого события из рассматриваемой алгебры событий равна 0?

Никак. Тервер такие случаи не рассматривает, т.к. вероятность достоверного события (всего $\Omega$) по определению равна $1$.

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

можно ли построить теорию вероятностей так, чтобы сохранить интуитивное представление о том, что всякая вероятность есть не просто число между 0 и 1, а доля некоторой части от некоторого целого, содержащего эту часть

Мое интуитивное представление прекрасно сохраняется аксиоматикой Колмогорова (и я интуитивно воспринимаю вероятность именно как долю успехов). Тут вопрос "здравого смысла", который вряд ли получится решить.

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

генератор случайных чисел должен быть способен равновероятно сгенерировать любое число из определённого множества. В предложенном мной случае это множество всех целых нечётных чисел

Тогда такого генератора (или, лучше сказать, распределения) просто не существует.

[atlakatl]

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

Если первое, то я не понимаю, как идеальный генератор может «заклинить». Если второе, то число 1 не существует в физической реальности.

Самый "идеальный" ГСЧ заклинит на бесконечно-большом числе. Вероятность попасть в область конечных чисел стремится к нулю. Это относится и к реальному ГСЧ.

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

в теории вероятностей есть понятие симметрии?

Вся классика ТВ построена на понятии симметрии.
В аксиомах Колмогорова симметрия не упоминается.
А в чём идея генерации бесконечно больших чисел?

[Someone]

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

Во-вторых: а как вообще в общепринятой теории вероятностей обходятся со случаями, когда вероятность каждого события из рассматриваемой алгебры событий равна 0?

Никак, потому что аксиомы теории вероятностей этого не допускают. Какую полезную информацию Вы хотите извлечь и такого "вероятностного пространства", где вообще все вероятности равны нулю?

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

Попробую переформулировать: меня интересует, можно ли построить теорию вероятностей так, чтобы сохранить интуитивное представление о том, что всякая вероятность есть не просто число между 0 и 1, а доля некоторой части от некоторого целого, содержащего эту часть.

А она так и построена. "Целое" — это множество всех элементарных исходов $\Omega$ с мерой $\mathbf(\Omega)=1$, произвольное событие $A\in\mathfrak F$ — его часть, а $\mathbf P(A)=\frac{\mathbf P(A)}{\mathbf P(\Omega)}$ — "доля" события $A$ в $\Omega$. А потом появляется условная вероятность $\mathbf P_B(A)=\frac{\mathbf P(A\cap B)}{\mathbf P(B)}$ (предполагается, естественно, что $\mathbf P(B)\neq 0$), которая прямо по определению есть та самая доля, которую событие $A\cap B$ составляет от $B$, и эта условная вероятность удовлетворяет всем аксиомам вероятности, так что ежели $(\Omega,\mathfrak F,\mathbf P)$ — вероятностное пространство, то и $(\Omega,\mathfrak F,\mathbf P_B)$ — вероятностное пространство. Впрочем, "безусловная" вероятность $\mathbf P$ на самом деле такая же условная, только условия эти не указываются явно в обозначении вероятности, а учитываются при построении вероятностного пространства.

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

Мне всегда казалось, что генератор случайных чисел должен быть способен равновероятно сгенерировать любое число из определённого множества. В предложенном мной случае это множество всех целых нечётных чисел, а не множество, состоящее из одного числа 1.

И с какой вероятностью этот генератор выдаёт число $1$? Или $3$? Или $-5$? А каждое из остальных нечётных целых чисел? Они ведь должны быть все одинаковыми (Вы сами этого захотели), а сумма их (поскольку события "генератор выдал число $m$" и "генератор выдал число $n$" при $m\neq n$ несовместны) должна быть равна $1$.

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

А в теории вероятностей есть понятие симметрии?

Нет. Видите ли, прежде чем мы сможем воспользоваться теорией вероятностей, мы должны определить вероятностное пространство, то есть, задать множество элементарных исходов, $\sigma$-алгебру событий и функцию "вероятность". Теория вероятностей начинает работать только после того, как всё это уже появилось. А как мы определим $\Omega$, $\mathfrak F$ и $\mathbf P$ — это наше дело, лишь бы все нужные аксиомы выполнялись. В данном случае мы видим, что рассматриваемая область симметрична, и хотим, чтобы элементы этой области (точнее, одноэлементные события) имели одинаковые вероятности. Исходя из этих соображений мы и делаем вывод, что каждая из "половин" области имеет вероятность $\frac 12$:

atlakatl в сообщении #1278196 писал(а):

Конечно, можно генерировать только последние 6 цифр и знак числа. Тогда $p=1/2$ - чисто из симметрии области $\Omega$

Здесь у нас область $\Omega$ содержит миллион нечётных не более чем шестизначных чисел от $-999999$ до $999999$, количество положительных и отрицательных чисел одинаковое, вероятности у них (исключительно по нашему желанию) одинаковые, вот и получается $\frac 12$.

atlakatl в сообщении #1278206 писал(а):

Вся классика ТВ построена на понятии симметрии.

Ну, здесь "симметрия" состоит исключительно в том, что вероятности всех элементарных исходов заранее предполагаются одинаковыми. Разумеется, число этих исходов должно быть конечным.

[mihaild]

atlakatl, не сбивайте ТС. "Бесконечно больших чисел" не бывает, симметрии меры (инвариантность относительно действия какой-нибудь группы) в некоторых задачах присутствует и используется, в некоторых нет, но к обсуждаемым основаниям отношения не имеет.

[Walker_XXI]

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

Генератор случайных чисел должен быть способен равновероятно сгенерировать любое число из определённого множества. В предложенном мной случае это множество всех целых нечётных чисел

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

Мы говорим о математических объектах или о реально существующих физических устройствах? Если первое, то я не понимаю, как идеальный генератор может «заклинить».

Осталось только "строго формализовать это в рамках современной математики". И тогда сможем двигаться дальше. А то я вот не понимаю, что это за математический объект такой? Какова хотя бы функция распределения у такого генератора? И вообще, какой смысл вкладывает ТС в слово "равновероятно", если само понятие вероятности у него не определено (существующее определение не устраивает)?

[Red_Herring]

Существует общая теория меры, в которой универсальное множество может иметь бесконечную меру. Есть даже обобщения, в которых мера может быть отрицательной или операторнозначной.

И существует более узкая в этом смысле теория вероятностей: "Probability theory is measure theory with soul", в которой вероятность впрямую связана с частотой, что очень удобно при решении большого количества как математических, так и прикладных задач.

Если вам нужно что-то среднее, типа "Если бы губы Никанора Ивановича да приставить к носу Ивана Кузьмича", то вперёд и с песнями, творите, дерзайте и разрабатывайте.

Вот вам чтениде
https://math.stackexchange.com/questions/118221/what-distinguishes-the-measure-theory-and-probability-theory

[Mikhail_K]

92285 в сообщении #1278191 писал(а):

Пускай есть генератор случайных чисел, который генерирует произвольные целые нечётные числа. Какова вероятность того, что сгенерированное им число окажется положительным?

Смотря как он их генерирует.
Если требуется, чтобы генерация каждого числа была равновероятной, то такого генератора случайных чисел не существует.
Если не требуется, то ответ может быть каким угодно - в зависимости от генератора.

[Brukvalub]

А вот я предлагаю больше не лукавть, а честно и открыто признаться ТС, что математики просто не умеют выполнить его хотелки "изменить аксиоматику теорвера так, чтобы ТС все понравилось". Не умеют, поскольку сама Природа этому противится.
Поэтому ТС предлагается самому поработать над осуществлением на практике его хотелок, а не бесконечно капризничать на форуме "у вас все не так, сделайте мне иначе и красиво."
Пока же видна только какая-то парадоксальная ситуация: ТС капризничает, требует невозможного, понабежала куча участников, все наперебой объясняют ему разными словами, почему его желаниям не суждено осуществиться, а ТС в ответ все капризничает и капризничает...

[92285]

Brukvalub в сообщении #1278231 писал(а):

…математики просто не умеют выполнить его хотелки "изменить аксиоматику теорвера так, чтобы ТС все понравилось". Не умеют, поскольку сама Природа этому противится.

Насколько я помню историю математики, «сама Природа» когда-то уже «противилась» и отрицательным числам, и иррациональным, и комплексным, и теории Галуа, и геометрии Лобачевского… Противилась, правда, она всё-таки не сама, а устами отдельных homo sapiens, которые брали на себя полномочия высказываться от имени этой самой природы.

[eugensk]

Brukvalub в сообщении #1278231 писал(а):

Не умеют, поскольку сама Природа этому противится.

Боже, еще один носитель сентенций? Теперь уже и с Природой.

Как полный профан я скажу что:
Природой обусловлено наличие мыслительного механизма и начальный запас "прикладных" задач.
Построение любой теории разумным образом ей не противно, а наоборот. Единственно, теория может оказаться "подсчетом хмыриков в мове", никому не нужным.

Если Природа чему и противится, то наверное тому, что на неё здесь ссылаются.

[provincialka]

92285 в сообщении #1278266 писал(а):

«сама Природа» когда-то уже «противилась» и отрицательным числам, и иррациональным, и комплексным, и теории Галуа, и геометрии Лобачевского…

А ещё, почему-то, противится "делению на 0". Ну вот такая она капризная дама. И, боюсь, ваш пример больше похож как раз на такое "деление", чем на перечисленные вами прекрасные идеи.
Они ведь возникали из математических задач и проблем, не на пустом месте... не от того, что какому-то математику вдруг захотелось чего-то "пообобщать".
Какая конкретно проблема не решается методами современной ТВ? Вы предъявите, тогда и повод для разговора будет.

[92285]

mihaild в сообщении #1278202 писал(а):

92285 в сообщении #1278197 писал(а):

генератор случайных чисел должен быть способен равновероятно сгенерировать любое число из определённого множества. В предложенном мной случае это множество всех целых нечётных чисел

Тогда такого генератора (или, лучше сказать, распределения) просто не существует.

Хорошо, а если так: берём счётное множество колод карт (стандартных, по 54 листа каждая), перетасовываем всё множество и вытягиваем первую попавшуюся карту. Какова вероятность, что это туз? Или в такой постановке задачи опять что-то не так?