2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Периодические решения
Сообщение19.12.2017, 12:04 
Аватара пользователя


31/08/17
10/04/19
1366
Задана лагранжева система с лагранжианом
$$L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot\varphi^2)-V(x,\varphi),\quad x,\varphi\in\mathbb{R},$$ функция $V$ гладкая на указанном множестве и $2\pi$-периодическая по $\varphi$, кроме того $V(x,\varphi)=V(-x,-\varphi)$ и $|V(x,\varphi)|\le const_1\cdot|x|+const_2$.
Доказать, что система имеет решение $x(t),\varphi(t)$, периодическое в следующем смысле $x(t+2\pi)=x(t),\quad \varphi(t+2\pi)=\varphi(t)+2\pi$
(Задача сформулирована специально в рафинированном виде для олимпиадного раздела, обобщения мне известны, спасибо.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические решения
Сообщение22.12.2017, 10:24 
Заслуженный участник


17/09/10
1798
Решение, видимо, следует из теоремы Болотина-Козлова о либрациях в неодносвязных областях возможного движения.
В данном случае пространство положений - двумерный цилиндр. Метрика Якоби вводится обычным образом, далее проверяются условия теоремы (наличие нескольких связных компонент границ области движения, компактность области).
Ну и отсюда вывод о существовании либрации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические решения
Сообщение22.12.2017, 21:25 
Аватара пользователя


31/08/17
10/04/19
1366
scwec в сообщении #1277565 писал(а):
(наличие нескольких связных компонент границ области движения, компактность области).

этого может и не быть

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические решения
Сообщение22.12.2017, 22:03 
Заслуженный участник


17/09/10
1798
Да, по поводу компактности мне тоже так показалось. А жаль, тут бы и сказочке конец.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group