Периодические решения

[pogulyat_vyshel]

Задана лагранжева система с лагранжианом

$$L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot\varphi^2)-V(x,\varphi),\quad x,\varphi\in\mathbb{R},$$

функция $V$ гладкая на указанном множестве и $2\pi$-периодическая по $\varphi$, кроме того $V(x,\varphi)=V(-x,-\varphi)$ и $|V(x,\varphi)|\le const_1\cdot|x|+const_2$.
Доказать, что система имеет решение $x(t),\varphi(t)$, периодическое в следующем смысле $x(t+2\pi)=x(t),\quad \varphi(t+2\pi)=\varphi(t)+2\pi$
(Задача сформулирована специально в рафинированном виде для олимпиадного раздела, обобщения мне известны, спасибо.)

[scwec]

Решение, видимо, следует из теоремы Болотина-Козлова о либрациях в неодносвязных областях возможного движения.
В данном случае пространство положений - двумерный цилиндр. Метрика Якоби вводится обычным образом, далее проверяются условия теоремы (наличие нескольких связных компонент границ области движения, компактность области).
Ну и отсюда вывод о существовании либрации.

[pogulyat_vyshel]

scwec в сообщении #1277565 писал(а):

(наличие нескольких связных компонент границ области движения, компактность области).

этого может и не быть

[scwec]

Да, по поводу компактности мне тоже так показалось. А жаль, тут бы и сказочке конец.