Отношение эквивалентности ~

[bayah]

1).Define a relation $\sim$ on the set $\mathbb {R}$ of real numbers, by setting $a \sim b \Longleftrightarrow b-a \in \mathbb {Z}$.
2).Prove that this is an equivalence relation, and find a 'compelling' description for $\mathbb {R}/ \sim$.
3).Do the same for the relation $\approx$ on the plane $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ defined by declaring $(a_1, a_2) \approx (b_1, b_2) \Longleftrightarrow b_1 - a_1 \in \mathbb {Z}$ and $b_2 - a_2 \in \mathbb {Z}$.

1). Что имеется ввиду "определить отношение"? Оно разве не определено собственно тем, что задано: $a \sim b \Longleftrightarrow b-a \in \mathbb {Z}$?
2). ...find a 'compelling' description for $\mathbb {R}/ \sim$. Не понятно как записать $\mathbb {R}/ \sim$? Понятно, что это будут классы эквивалетности для всех действительных чисел на $[0, 1]$.

Если что, то $S/ \sim$ это множетство классов эквивалентности элементов $S$ относительно отношения $\sim$.
Например, для $S = \mathbb {Z}$ и $a \sim b \Longleftrightarrow a-b $ четное. Тогда $\mathbb {Z}/ \sim = \{[0]_{\sim}, [1]_{\sim}\}$

[iifat]

bayah в сообщении #1275687 писал(а):

Что имеется ввиду "определить отношение"?

Насколько я знаю (скорее, не знаю) английский, define тут может означать и «определим». В общем, отношение определено вот так и точка

bayah в сообщении #1275687 писал(а):

Понятно, что это будут классы эквивалетности для всех действительных чисел на $[0, 1]$.

Имхо, именно вот так, только сформулировать фразу, чтобы в ней был какой-то смысл. Сейчас я такового не наблюдаю, хотя заметно, что вы хотели сказать что-то похожее на правду.

[bayah]

iifat в сообщении #1275698 писал(а):

Насколько я знаю (скорее, не знаю) английский, define тут может означать и «определим». В общем, отношение определено вот так и точка

Ну я тоже думал, но в другом упражнением выше использовалась более очевидное слово given как раз в этом смысле:
Given a partition $P$ on set $S$, show how to define a relation $\sim$ on $S$ such that $P$ is the corresponding partition.

iifat в сообщении #1275698 писал(а):

Имхо, именно вот так, только сформулировать фразу, чтобы в ней был какой-то смысл. Сейчас я такового не наблюдаю, хотя заметно, что вы хотели сказать что-то похожее на правду.

Так?
$R/ \sim = \{[a]_{\sim} | a \in \mathbb {R}, 0 \leq a \leq 1\}$

[iifat]

Что-то типа того, только 0 и 1 не могут входить в $R/ \sim$ одновременно.

[bayah]

iifat в сообщении #1276328 писал(а):

Что-то типа того, только 0 и 1 не могут входить в $R/ \sim$ одновременно.

Точно, точно!
Либо так $R/ \sim = \{[a]_{\sim} | a \in \mathbb {R}, 0 < a \leq 1\}$, либо так $R/ \sim = \{[a]_{\sim} | a \in \mathbb {R}, 0 \leq a < 1\}$

Спасибо!

[vpb]

bayah,
я не знаю, какую Вы книжку читаете и что вообще изучаете и т.д., но, видимо, они хотят намекнуть, что фактормножество для прямой следует себе мыслить как окружность, а для плоскости, ${\mathbb R}\times{\mathbb R}$ то бишь --- тор.

[Walker_XXI]

vpb, если рассматривать $\mathbb {R}/ \sim$ как топологическое пространство с естественной топологией, индуцированной из $\mathbb {R}$, то да - окружность.

[Someone]

Walker_XXI в сообщении #1276758 писал(а):

с естественной топологией, индуцированной из

С фактортопологией.