Помогите разобраться с доказательством

[miroslavKK]

Здравствуйте! Доказательство теоремы Штольца приведено из учебника математический анализ Садовничий(стр 43)


Вопросы начинаются после сложения неравенств.
1.Я нe очень понимаю арифметические преобразования. Так как $y_{k+1} - y_k>0$ , то в первом неравенстве понимаю откуда взялся модуль, но почему \left| x_{n+1}-ly_{n+1} \right| \leqslant \left| x_N-ly_N\right| + ... Или это следует из того, что $ x_{n+1}>ly_{n+1} $ ?
2.В третьем неравенстве,наверное, опечатка $\frac{\varepsilon}{2} \frac{y_{n+1}-y_n}{y_{n+1}} $. В последующих действиях мы полагаем что $\frac{\varepsilon}{2} \frac{y_{n+1}-y_n}{y_{n+1}} $ достаточно маленькая величина, поэтому в дальнейшем мы ее не пишем?
3. Из условия (2) следует, что $\frac{1}{y_n}<\varepsilon$, но почему $\frac{\left| x_N-ly_N \right|}{y_{n+1}} < \frac{\varepsilon}{2}$ ?

[iifat]

miroslavKK в сообщении #1275672 писал(а):

в первом неравенстве понимаю откуда взялся модуль

Вовсе не оттуда. Это неравенство треугольника. А вот снят модуль как раз таки из-за возрастания $y_n$.

miroslavKK в сообщении #1275672 писал(а):

наверное, опечатка

Нет там никакой опечатки. Посмотрите ещё раз.

miroslavKK в сообщении #1275672 писал(а):

Из условия (2)

Это из того самого, кое вы решили сюда не цитировать? Возможно.

miroslavKK в сообщении #1275672 писал(а):

но почему

Присмотритесь повнимательнее. Что в числителе? Что в знаменателе?

[miroslavKK]

iifat в сообщении #1275726 писал(а):

miroslavKK в сообщении #1275672 писал(а):

в первом неравенстве понимаю откуда взялся модуль

Вовсе не оттуда. Это неравенство треугольника. А вот снят модуль как раз таки из-за возрастания $y_n$.

miroslavKK в сообщении #1275672 писал(а):

наверное, опечатка

Нет там никакой опечатки. Посмотрите ещё раз.

miroslavKK в сообщении #1275672 писал(а):

Из условия (2)

Это из того самого, кое вы решили сюда не цитировать? Возможно.

miroslavKK в сообщении #1275672 писал(а):

но почему

Присмотритесь повнимательнее. Что в числителе? Что в знаменателе?

Виноват, забыл написать, что за условия

1. Понял, что неравенство, но как воспользовались неравенством треугольника? у нас же перед этим просто равенство без модулей..
2. Увидел, что после вынесения $\frac{\varepsilon}{2}$ остаются только$y_{y+1} , y_{N}$
3. В знаменателе бесконечно большая последовательность, а в числителе... Я что-то не очень понимаю все равно. Расписал условие (3): $\frac{(x_{n+1}-x_n)-l(y_{n+1}-y_n)}{y_{n+1}-y_n}<\varepsilon$ , но пока не очень ясно..

[iifat]

miroslavKK в сообщении #1275821 писал(а):

как воспользовались неравенством треугольника?

Запишите для одномерного случая.

miroslavKK в сообщении #1275672 писал(а):

В последующих действиях мы полагаем что $\frac{\varepsilon}{2} \frac{y_{n+1}-y_n}{y_{n+1}} $ достаточно маленькая величина, поэтому в дальнейшем мы ее не пишем?

Не совсем. Посмотрите внимательнее на дробь — второй сомножитель.

miroslavKK в сообщении #1275821 писал(а):

а в числителе...

Так что же там, в числителе? Посмотрите на индексы!

[miroslavKK]

iifat в сообщении #1275909 писал(а):

Запишите для одномерного случая.

Вроде понял
Нам известно $x_{n+1}-ly_{n+1}=x_n-ly_n+a_n(y_{n+1}-y_n})$
По неравеству треугольника: $x_{n+1}-ly_{n+1}\leqslant |x_{n+1}|+|ly_{n+1}|$
Аналогично рассписываем для правого выражение и при вычитание получаем для одномерного случае.

iifat в сообщении #1275909 писал(а):

Не совсем. Посмотрите внимательнее на дробь — второй сомножитель.

Из-за множителя $\frac{\varepsilon}{2}$ полагаем, что дробь меньше единицы?

iifat в сообщении #1275909 писал(а):

Так что же там, в числителе? Посмотрите на индексы!

Ох.. числитель можно еще так расписать $x_N-ly_N=x_{N+1}-ly_{N+1}+a_N(y_{N+1}-y_N)$ Или не в том направлении иду?

[iifat]

miroslavKK в сообщении #1276022 писал(а):

Из-за множителя $\frac{\varepsilon}{2}$ полагаем, что дробь меньше единицы?

Ну полной-то ерунды писать не стоит.

miroslavKK в сообщении #1276022 писал(а):

Или не в том направлении иду?

Не в том. Что такое $N$?

[miroslavKK]

iifat в сообщении #1276029 писал(а):

Ну полной-то ерунды писать не стоит.

Понял, что из условия (1) следует, что $0<1-\frac{y_n}{y_{n+1}}<1$ а значит $0<\frac{\varepsilon}{2}(1-\frac{y_n}{y_{n+1}})<\frac{\varepsilon}{2}$

iifat в сообщении #1276029 писал(а):

Не в том. Что такое $N$?

С номера $N$ у нас выполняется неравенство $|a_n|<\frac{\varepsilon}{2}$ Или не то?

[iifat]

miroslavKK в сообщении #1276039 писал(а):

С номера $N$

Ох-ох-ой. Этот кусок рассуждения мы начинаем с того что фиксируем $N$...

[miroslavKK]

iifat в сообщении #1276186 писал(а):

miroslavKK в сообщении #1276039 писал(а):

С номера $N$

Ох-ох-ой. Этот кусок рассуждения мы начинаем с того что фиксируем $N$...

Фиксируем и начиная с это номера выполняется неравенство $\frac{(x_{n+1}-x_n)-l(y_{n+1}-y_n)}{y_{n+1}-y_n}<\varepsilon$ А как прийти к нужному, честно, без понятия . И все-таки, что за числитель $|x_N-ly_N|$?

[iifat]

Та ёлки ж, при фиксированном $N$ какой у нас числитель обсуждаемой дроби?

miroslavKK в сообщении #1276216 писал(а):

А как прийти к нужному, честно, без понятия

Разберитесь с оставшейся дробью и ещё раз перечитайте доказательство. Вы в нём потерялись, похоже.

[miroslavKK]

iifat в сообщении #1276230 писал(а):

Та ёлки ж, при фиксированном $N$ какой у нас числитель обсуждаемой дроби?

miroslavKK в сообщении #1276216 писал(а):

А как прийти к нужному, честно, без понятия

Разберитесь с оставшейся дробью и ещё раз перечитайте доказательство. Вы в нём потерялись, похоже.

Нам известно, что $\frac{1}{y_n}<\frac{\varepsilon}{2}$ И если мы возьмем номер больше, чем $N$, то дробь будет $\frac{|x_N-ly_N|}{y_{n+1}}<\frac{\varepsilon}{2}$ , верно?