Дифференциальное уравнение

[Nickspa]

Найдите решение уравнения $\dot{X}=AX-XA$ с начальным условием $X(0)=M$.
У меня получилось $X=e^{At}C_1+C_2e^{-At}$, где $C_1$ - матрицы делители нуля при умножении на $A$ слева, а $C_2$ справа. Это верно, не совсем верно или чушь?

[arseniiv]

Кажется, плюс в решении надо поменять на минус.

[Nickspa]

arseniiv в сообщении #1276183 писал(а):

Кажется, плюс в решении надо поменять на минус.

По-моему, нет разницы. Если матрица - делитель нуля, то и эта матрица со знаком минус - делитель нуля.

[Xaositect]

Nickspa в сообщении #1276176 писал(а):

У меня получилось $X=e^{At}C_1+C_2e^{-At}$, где $C_1$ - матрицы делители нуля при умножении на $A$ слева, а $C_2$ справа. Это верно, не совсем верно или чушь?

Это как-то совсем мало. У этого уравнения решения есть при любом $A$, а делителей нуля может не существовать.

[arseniiv]

Nickspa в сообщении #1276191 писал(а):

По-моему, нет разницы. Если матрица - делитель нуля, то и эта матрица со знаком минус - делитель нуля.

Да не, там знак и у одного из остающихся слагаемых (правого) не тот выходит. Или я неправильно что-то сделал.

[Nickspa]

Видимо, как-то не так я делал. Я взял решение уравнения $\dot{X}=AX$, решение $\dot{X}=-XA$ и сложил их. Потом подставил в диффур и получил уравнения на матрицы. А как правильно делать?

[DeBill]

Nickspa в сообщении #1276176 писал(а):

Это верно, не совсем верно или чушь?

Да!
1. Посмотрите, что получится для матриц два на два (расписав как систему четырех уравнений). Сравните с Вашим ответом.
2. Посмотрите для жордановой нормальной формы (напр., для диагональной А) (к этому всегда можно свести)

-- 19.12.2017, 02:53 --

3. Такого сорта уравнения возникают при приведении линейной системы $\dot{X}=AX$ заменой $Y=HX$ к виду $\dot{Y} =BY$: получается $\dot{H}= BH-HA$. Для $A=B$ такую легко сочинить: достаточно решение $X=e^{At}C_1$ умножить (слева) на $e^{-At}$, затем на $C_2$, и на $e^{At}$....



-- 19.12.2017, 02:58 --

А вааще, токого типа дифуры - из теории групп Ли: посмотрите про экспоненциальное отображение, действие слева-справа, и присоединенное действие

[DeBill]

Nickspa
Вы поняли, что предлагается искать решение в виде $X=e^{At}Ce^{-At}$ ?

[Nickspa]

DeBill в сообщении #1277434 писал(а):

Nickspa
Вы поняли, что предлагается искать решение в виде $X=e^{At}Ce^{-At}$ ?

Да, спасибо! Ответ $X=e^{At}Me^{-At}$