Произведения по столбцам и строкам

[Alexander Evnin]

Пусть $a_1,a_2,\dots,a_{100}$ и $b_1,b_2,\dots,b_{100}$ - 200 различных действительных чисел.
Составим матрицу $100\times100$ с общим членом $a_i+b_j$. Известно, что произведение чисел
в каждом столбце равно 1. Докажите, что произведение чисел в каждой строке равно $-1$.

Я проверил верность аналогичного утверждения с заменой 100 на 2. Видимо, 100 можно заменить любым чётным числом...

Источник задачи: Andreescu, Dospinescu. Problems from the Book.

[Alexander Evnin]

Решил! Из условия следует тождество
$(a_1+x)(a_2+x)\dots(a_{100}+x)-1=(x-b_1)\dots(x-b_{100}),$
из которого после замены $x$ на $-x$ получится то, что нужно!

[worm2]

Как просто!
А я через теорему Виета решал, основные симметрические многочлены выписывал