2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведения по столбцам и строкам
Сообщение18.12.2017, 19:11 
Аватара пользователя


31/10/11
85
Челябинск
Пусть $a_1,a_2,\dots,a_{100}$ и $b_1,b_2,\dots,b_{100}$ - 200 различных действительных чисел.
Составим матрицу $100\times100$ с общим членом $a_i+b_j$. Известно, что произведение чисел
в каждом столбце равно 1. Докажите, что произведение чисел в каждой строке равно $-1$.

Я проверил верность аналогичного утверждения с заменой 100 на 2. Видимо, 100 можно заменить любым чётным числом...

Источник задачи: Andreescu, Dospinescu. Problems from the Book.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведения по столбцам и строкам
Сообщение18.12.2017, 20:35 
Аватара пользователя


31/10/11
85
Челябинск
Решил! Из условия следует тождество
$(a_1+x)(a_2+x)\dots(a_{100}+x)-1=(x-b_1)\dots(x-b_{100}),$
из которого после замены $x$ на $-x$ получится то, что нужно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведения по столбцам и строкам
Сообщение18.12.2017, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2529
Уфа
Как просто!
А я через теорему Виета решал, основные симметрические многочлены выписывал :lol:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group