Найдите x, y: x^3+5y^4=2016

[Ruzmet]

$x^3+5y^4=2016 , (x, y \in Z) $

[Dmitriy40]

Ruzmet в сообщении #1276070 писал(а):

$x^3+5y^4=2016 , (x, y \in Z) $

Как-то это не смешно, $y$ тут если и существует, то больше $10^8$ (а $x$ по модулю больше $10^{11}$).

[Alexander Evnin]

$x$ и $y$ нечётны.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: сложная задача

[Dmitriy40]

Alexander Evnin в сообщении #1276094 писал(а):

$x$ и $y$ нечётны.

Мне интересно обоснование этого утверждения, т.к. я не вижу принципиальной разницы первого уравнения и получающегося после упрощения первого для чётных чисел: $x^3+10y^4=252$.

[Sonic86]

Dmitriy40 в сообщении #1276542 писал(а):

Мне интересно обоснование этого утверждения

Факторизуем $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$.
Если $2|x$, то оттуда постепенно следует $4|y, 4|x$, откуда потом следует $2|3^2\cdot 7$.

Dmitriy40 в сообщении #1276542 писал(а):

и получающегося после упрощения первого для чётных чисел: $x^3+10y^4=252$.

Отсюда следует, что $2|x$.

[Poweball]

Более сильное утверждение: $y = 10k+1$.

[Sonic86]

Poweball в сообщении #1276563 писал(а):

Более сильное утверждение: $y = 10k+1$.

Уравнение скорее всего разрешимо по любому простому модулю и в любых $p$-адических чисел.

Ну и $\gcd(x,y)=1$. Толку нет от этого конечно.

[Dmitriy40]

Sonic86
Спасибо, дошло, надо было лишь продолжить упрощение уравнения.

-- 19.12.2017, 19:15 --

Poweball в сообщении #1276563 писал(а):

Более сильное утверждение: $y = 10k+1$.

Для $k<10^6$ решений всё ещё нет ...
Э, чего это я, уже же проверил до $y<10^8$, а значит $k>10^7$.

[nimepe]

$p=\frac{x^3}{y^4-\frac{2016}{5}}$ ,$p=\frac{-5}{1}$ .Корни $y$ принадлежат
интервалу $(-4,4810534 , + 4,4810534)$


$p_1=\frac{10y^4}{x^3-2016}$, $p_1=\frac{-1}{1}$ .Корни $x$ меньше $12,65$.Если подставить целые значения $y$ в уравнение, то получим ,что данное уравнение не имеет решения в целых числах.

[Dmitriy40]

nimepe в сообщении #1276568 писал(а):

Корни $y$ принадлежат интервалу $(-4,4810534 , + 4,4810534)$

Вы не забыли что $x$ может быть и меньше нуля?

[scwec]

Заданное уравнение вообще не имеет не только целых, но и рациональных решений.
Убедиться в этом можно рассмотрев уравнение эллиптической кривой $x^3+5Y^2-2016=0$.
Эта кривая имеет нулевой ранг (отсутствуют рациональные точки бесконечного порядка) и на ней отсутствуют рациональные точки конечного порядка (кроме $\infty$).
Вычислить ранг и точки кручения можно с помощью популярных pari/gp или magma.

[Sonic86]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #1276575 писал(а):

Убедиться в этом можно рассмотрев уравнение эллиптической кривой $x^3+5Y^2-2016=0$.
Эта кривая имеет нулевой ранг (отсутствуют рациональные точки бесконечного порядка) и на ней отсутствуют рациональные точки конечного порядка (кроме $\infty$).
Вычислить ранг и точки кручения можно с помощью популярных pari/gp или magma.

Читаю и испытываю то неловкое чувство, когда $n$ лет в универе писал программы поиска дерева а графе, сумму элементов массива, а потом пришел на работу и оказалось, что это все - быдлокод и изобретание велосипедов, а на самом деле надо было тупо учить библиотеки, их функции, полагаться на них не разбираясь в том, как они работают.
Вам конечно легко говорить как специалисту
Короче говоря, хотелось бы хоть что-то пощупать из высокой теории эллиптических кривых на конкретном примере.

[Markiyan Hirnyk]

scwec
Согласно Мэйплу 2017.3

algcurves:-genus(5*y^4+x^3-2016, x, y);
                               3
algcurves:-genus(x^3+5*y^2-2016, x, y);
                               1