2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение11.12.2017, 00:24 
Аватара пользователя


09/10/15
3188
Columbia, Missouri, USA
wrest в сообщении #1273805 писал(а):

(Ответ, без решения)

fred1996
Окружность радиусом $CE$
В предельных положениях одна из вписанных окружностей начинает совпадать с вписанной в исходный треугольник окружностью, отсюда можно вычислить $CE$

Ответ верный. Но пока что это выглядит как лаки гесс. Просто исходя из крайних положений точки $E$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 5
Сообщение11.12.2017, 10:16 


30/03/08
193
St.Peterburg
fred1996 в сообщении #1273799 писал(а):
Задача 5
Изображение
Задан произвольный треугольник $ABC$ и на его стороне $AB$ произвольная точка $D$
Проводим отрезок $CD$ и строим две вписанные опружности. Проводим вторую касательную к этим окружностям, которая пересекает отрезок $CD$ в точке $E$. Какую кривую описывает эта точка при перемещении точки $D$ по $AB$?

(Оффтоп)

пусть $ M, N - $ точки касания левой и правой окружностей стороны $AB $.

Тогда : $ MD+DN=ED\ , MD=\dfrac {CD+AD-CA}{2}, \ DN=\dfrac {CD+DB-CB}{2}$
$$CE= \dfrac {AC+CB-AB}{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение11.12.2017, 11:34 
Аватара пользователя


09/10/15
3188
Columbia, Missouri, USA
Sergic Primazon
Да, красиво. Вы опуситил, почему $MD+DN=ED$, но это можно доказать, если включить в рассмотрение верхний касательный отрезок, который равен $MN$. Мне это было не совсем очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Треугольники в шестиугольнике
Сообщение13.12.2017, 07:58 
Аватара пользователя


09/10/15
3188
Columbia, Missouri, USA
Задача 6
Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность таким образом, что$AB=CD=EF$, а диагонали $AD,BE$, $CF$ пересекаются в одной точке. Пусть $P$ пересечение $AD$ и $CE$. Доказать, что $\frac{CP}{PE}=(\frac{AC}{CE})^2$.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение13.12.2017, 10:51 


30/03/08
193
St.Peterburg

(Оффтоп)

$\triangle FQE  \sim \triangle ACE \rightarrow \dfrac {QE}{CE}=\dfrac {FE}{AC}$

$\triangle ABQ\sim \triangle ACE \rightarrow \dfrac {BQ}{AC}=  \dfrac {AB}{CE}$

$$\left (\dfrac {CE}{AC} \right )^2=\dfrac {BQ}{QE}=\dfrac {CP}{PE}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение14.12.2017, 05:23 
Аватара пользователя


09/10/15
3188
Columbia, Missouri, USA
Sergic Primazon
А можно поподробнее про подобия? Я пока вижу подобия других треугольников, но не ваших.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение14.12.2017, 08:38 


05/09/16
6038
fred1996
$AF || BE$, $CF || DE$, а у равнобедренных трапеций диагонали равны.

-- 14.12.2017, 08:43 --

Так что с заявленным подобием все верно. Но я вот так и не смог разобраться почему:
Sergic Primazon в сообщении #1274564 писал(а):

(Оффтоп)

$\dfrac {BQ}{QE}=\dfrac {CP}{PE}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение14.12.2017, 11:23 
Аватара пользователя


09/10/15
3188
Columbia, Missouri, USA
wrest в сообщении #1274751 писал(а):
fred1996
$AF || BE$, $CF || DE$, а у равнобедренных трапеций диагонали равны.

-- 14.12.2017, 08:43 --

Так что с заявленным подобием все верно. Но я вот так и не смог разобраться почему:
Sergic Primazon в сообщении #1274564 писал(а):

(Оффтоп)

$\dfrac {BQ}{QE}=\dfrac {CP}{PE}$$


Там $BC\parallel QP$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение14.12.2017, 11:28 


05/09/16
6038
fred1996 в сообщении #1274784 писал(а):
Там $BC\parallel QP$

Ах, ну конечно же! :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение18.12.2017, 01:20 
Аватара пользователя


09/10/15
3188
Columbia, Missouri, USA
Problem 7
Изображение
Пусть в треугольник $ABC$ ваисана окружность $\omega$, касающаяся сторон треугольника в точках $D_1$ и $E_1$. Пусть точки $D_2$ и $E_2$ выбраны так, что $CD_2 = BD_1$ и $CE_2 = AE_1$, а точка $P$ есть точка пересечения отрезков $AD_2$ и $BE_2$. Окружность $\omega$ пересекает $AD_2$ в двух точках, где $Q$ - ближайшая к вершине$A$. Доказать, что $AQ = D_2P$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение18.12.2017, 10:31 


30/03/08
193
St.Peterburg

(Оффтоп)

$D_2 \ , \ E_2 -$ точки касания вневписанных окружностей.

$D_1$ и $Q$ - диаметрально противопложны.

$\dfrac{AQ}{AD_2}=\dfrac {AE_1}{AE_1+BC} \Rightarrow \dfrac {AQ}{QD_2}=\dfrac {BC}{AE_1}$

$\dfrac {AP}{PD_2}=\dfrac {BC\cdot AE_2}{BD_2\cdot CE_2}=\dfrac {BC}{CE_2}=\dfrac {BC}{AE_1}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group