предел функции

[alexrr]

Надо найти предел этой функции. я решил разложить числитель и знаменатель по формуле Маклорена до 3 степени. Но получилась неопределенность. подумал, что тогда надо до 5 степени. опять та же ситуация. Подскажите, как тогда можно решить? Как-то преобразовать, а потом вычислить через Маклорена? Или до 7 степени все раскладывать?
\lim_{x \to 0} (\frac{\sin\tg(x)-\tg\sin(x)}{\arcsin\arctg(x)-\arctg\arcsin(x)})

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

Начните с разложения слагаемых в знаменателе, увеличивая степень разложения до той степени, при которой их коэффициенты в разложении впервые будут различны.

[provincialka]

alexrr в сообщении #1275491 писал(а):

Или до 7 степени все раскладывать?

Да. До седьмой. Только при таком решении надо удобные обозначения ввести. И решать в общем виде, а не конкретно для всех четырех составляющих.

Но это большой труд, лучше решить этот пример каким-нибудь другим способом, учитывая наличие в знаменателе обратных функций. Кажется, я где-то встречала другой способ, но до него трудно догадаться (и даже понять).

[alexrr]

Brukvalub в сообщении #1275678 писал(а):

Начните с разложения слагаемых в знаменателе, увеличивая степень разложения до той степени, при которой их коэффициенты в разложении впервые будут различны.

Понял, но неуверен, что так:
$ \arctg(t)=t+o(t) , t=\arcsin(x)=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3), \arctg\arcsin(x)=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3) $
Такое разложение допустимо? Мне просто казалось, что каждую функцию нужно раскладывать по одинаковым степеням

[Pphantom]

Насколько я помню, какое-то время назад именно эта задача уже обсуждалась на форуме.

[grizzly]

provincialka в сообщении #1275713 писал(а):

лучше решить этот пример каким-нибудь другим способом

Был немного удивлён, обнаружив обсуждение этого примера на mathoverflow (да ещё с таким количеством баллов). На MSE его тоже решали, но не сказать, чтобы совсем просто.

[provincialka]

alexrr
Если уж вы хотите честно найти разложение в ряд Маклорена, рассмотрите две нечетные функции $f(x) = x +a_1x^3+b_1x^5+c_1x^7+o(x^8)$ и $g(x) = x +a_2x^3+b_2x^5+c_2x^7+o(x^8)$. .
Распишите до 7 степени сложную функцию $f(g(x))$, а потом просто поменяйте местами индексы и вычтите.

А как, кстати, выглядит разложение обратных к этим функций?

[Brukvalub]

Эта или подобная ей задача есть в Тривиуме Арнольда.

[grizzly]

Brukvalub в сообщении #1275730 писал(а):

Эта или подобная ей задача есть в Тривиуме Арнольда.

Да, эта. И на MO она тоже попала с одной из книг Арнольда.

[alexrr]

Всем спасибо! Разобрался