Задача на уравнение Лагранжа второго рода.

[ubertinderkid]

Составить уравнения движения материальной точки массой $m$, подвешенной на упругой нити жесткости $c$. Длина нити в положении равновесия равна $l$. Точка движется в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса. И далее моим преподавателем было добавлено условие: на точку действует горизонтальная сила сопротивления $\overline{F}=-k \overline{v_x}$.
Также в задаче есть указание взять в качестве обобщенных координат полярные с полюсом в точке подвеса $(r, \varphi)$, где $\varphi$ - угол нити с вертикалью.
Итак, мой вариант решения следующий:
1. Записываем уравнение Лагранжа второго рода: $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial q^._i})-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q$
2. В нашем случае $q_1=r$, $q_2=\varphi$
3. $L=T-P$, $T=\frac{mv^2}{2}$
И дальше проблема, я не знаю как мне указать эту силу сопротивления и как она будет действовать на скорость и т.д. Прошу помочь с записью уравнений.

[pogulyat_vyshel]

Используйте определение обобщенной силы. Если $\boldsymbol r$ -- радиус-вектор точки то в вашем случае это будет

$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial q_i},\boldsymbol F\Big)$$

либо так

$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol v}{\partial \dot q_i},\boldsymbol F\Big)$$

[ubertinderkid]

pogulyat_vyshel в сообщении #1275699 писал(а):

Используйте определение обобщенной силы. Если $\boldsymbol r$ -- радиус-вектор точки то в вашем случае это будет

$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial q_i},\boldsymbol F\Big)$$

либо так

$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol v}{\partial \dot q_i},\boldsymbol F\Big)$$

Спасибо за ответ! Я правильно понимаю, что в моём случае скорость точки векторно можно записать как $\overline{v}=\overline{v_r}+\overline{v_p}$ - здесь $v_p$ - переносная скорость. Как будет влиять сила сопротивления в данном случае на скорость? У меня мысль записать $v_r=\dot r$, $v_p=\dot \varphi(l+x)$, здесь $x$ - удлинение пружины.

-- 17.12.2017, 15:24 --

ubertinderkid в сообщении #1275705 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1275699 писал(а):

Используйте определение обобщенной силы. Если $\boldsymbol r$ -- радиус-вектор точки то в вашем случае это будет

$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial q_i},\boldsymbol F\Big)$$

либо так

$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol v}{\partial \dot q_i},\boldsymbol F\Big)$$

Спасибо за ответ! Я правильно понимаю, что в моём случае скорость точки векторно можно записать как $\overline{v}=\overline{v_r}+\overline{v_p}$ - здесь $v_p$ - переносная скорость. Как будет влиять сила сопротивления в данном случае на скорость? У меня мысль записать $v_r=\dot r$, $v_p=\dot \varphi(l+x)$, здесь $x$ - удлинение пружины.

Кроме того, следуя вашему совету, получается, что при $q=r$ имеем $Q_1=(\frac{\partial r}{\partial r}; \boldsymbol F)= F$

[pogulyat_vyshel]

Вы что такое скалярное произведение знаете?

[ubertinderkid]

pogulyat_vyshel в сообщении #1275716 писал(а):

Вы что такое скалярное произведение знаете?

Я разве в чём-то неправ? $(1; \boldsymbol F) = F$?

-- 17.12.2017, 15:54 --

Если следовать вышеизложенным соображениям, получаю, что $L=T-P=\frac{1}{2}m((\dot\varphi(1+x))^2+\dot x^2) - ml(1+\cos\varphi)(l+x)- \frac{cx^2}{2}$

-- 17.12.2017, 15:59 --

В таком случае, $\frac{\partial L}{\partial \dot \varphi}= m(l+x)^2 \dot\varphi$ и $\frac{\partial L}{\partial \varphi} = -mg(l+x)\sin\varphi$
Тогда $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot \varphi})=m(l+x)^2\dot \varphi^2 + 2m(l+x)\dot x \dot \varphi$

-- 17.12.2017, 16:05 --

И ещё, насколько я понимаю, выражение $(\frac{\partial r}{\partial \varphi}; \boldsymbol F) = 0$ , т.к. $\frac{\partial r}{\partial \varphi}=0$