2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на уравнение Лагранжа второго рода.
Сообщение17.12.2017, 14:53 


24/10/16
32
Составить уравнения движения материальной точки массой $m$, подвешенной на упругой нити жесткости $c$. Длина нити в положении равновесия равна $l$. Точка движется в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса. И далее моим преподавателем было добавлено условие: на точку действует горизонтальная сила сопротивления $\overline{F}=-k \overline{v_x}$.
Также в задаче есть указание взять в качестве обобщенных координат полярные с полюсом в точке подвеса $(r, \varphi)$, где $\varphi$ - угол нити с вертикалью.
Итак, мой вариант решения следующий:
1. Записываем уравнение Лагранжа второго рода: $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial q^._i})-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q$
2. В нашем случае $q_1=r$, $q_2=\varphi$
3. $L=T-P$, $T=\frac{mv^2}{2}$
И дальше проблема, я не знаю как мне указать эту силу сопротивления и как она будет действовать на скорость и т.д. Прошу помочь с записью уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на уравнение Лагранжа второго рода.
Сообщение17.12.2017, 15:11 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Используйте определение обобщенной силы. Если $\boldsymbol r$ -- радиус-вектор точки то в вашем случае это будет
$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial q_i},\boldsymbol F\Big)$$
либо так
$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol v}{\partial \dot q_i},\boldsymbol F\Big)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на уравнение Лагранжа второго рода.
Сообщение17.12.2017, 15:17 


24/10/16
32
pogulyat_vyshel в сообщении #1275699 писал(а):
Используйте определение обобщенной силы. Если $\boldsymbol r$ -- радиус-вектор точки то в вашем случае это будет
$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial q_i},\boldsymbol F\Big)$$
либо так
$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol v}{\partial \dot q_i},\boldsymbol F\Big)$$

Спасибо за ответ! Я правильно понимаю, что в моём случае скорость точки векторно можно записать как $\overline{v}=\overline{v_r}+\overline{v_p}$ - здесь $v_p$ - переносная скорость. Как будет влиять сила сопротивления в данном случае на скорость? У меня мысль записать $v_r=\dot r$, $v_p=\dot \varphi(l+x)$, здесь $x$ - удлинение пружины.

-- 17.12.2017, 15:24 --

ubertinderkid в сообщении #1275705 писал(а):
pogulyat_vyshel в сообщении #1275699 писал(а):
Используйте определение обобщенной силы. Если $\boldsymbol r$ -- радиус-вектор точки то в вашем случае это будет
$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial q_i},\boldsymbol F\Big)$$
либо так
$$Q_i=\Big(\frac{\partial \boldsymbol v}{\partial \dot q_i},\boldsymbol F\Big)$$

Спасибо за ответ! Я правильно понимаю, что в моём случае скорость точки векторно можно записать как $\overline{v}=\overline{v_r}+\overline{v_p}$ - здесь $v_p$ - переносная скорость. Как будет влиять сила сопротивления в данном случае на скорость? У меня мысль записать $v_r=\dot r$, $v_p=\dot \varphi(l+x)$, здесь $x$ - удлинение пружины.

Кроме того, следуя вашему совету, получается, что при $q=r$ имеем $Q_1=(\frac{\partial r}{\partial r}; \boldsymbol F)= F$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на уравнение Лагранжа второго рода.
Сообщение17.12.2017, 15:40 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Вы что такое скалярное произведение знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на уравнение Лагранжа второго рода.
Сообщение17.12.2017, 15:44 


24/10/16
32
pogulyat_vyshel в сообщении #1275716 писал(а):
Вы что такое скалярное произведение знаете?

Я разве в чём-то неправ? $(1; \boldsymbol F) = F$?

-- 17.12.2017, 15:54 --

Если следовать вышеизложенным соображениям, получаю, что $L=T-P=\frac{1}{2}m((\dot\varphi(1+x))^2+\dot x^2) - ml(1+\cos\varphi)(l+x)- \frac{cx^2}{2}$

-- 17.12.2017, 15:59 --

В таком случае, $\frac{\partial L}{\partial \dot \varphi}= m(l+x)^2 \dot\varphi$ и $\frac{\partial L}{\partial \varphi} = -mg(l+x)\sin\varphi$
Тогда $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot \varphi})=m(l+x)^2\dot \varphi^2 + 2m(l+x)\dot x \dot \varphi$

-- 17.12.2017, 16:05 --

И ещё, насколько я понимаю, выражение $(\frac{\partial r}{\partial \varphi}; \boldsymbol F) = 0$ , т.к. $\frac{\partial r}{\partial \varphi}=0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group