Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"

[vmh]

Добрый день, уважаемые участники.
На мой взгляд будет полезна тема, в которой можно задать вопросы, возникающие при прочтении данной книги. Может это уместнее в разделе "Помогите решить/разобраться", но все на усмотрение модераторов. Книга П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма для любителей" доступна по ссылке здесь.

На стр. 120 автор приводит и доказывает следующее утверждение:
(1D) Пусть $n>2$ - бесквадратное целое число и отличные от нуля попарно взаимнопростые целые числа $x,y,z$ таковы, что $x^n+y^n=z^n$ (соответственно $n$ нечетно и $x^n-y^n=z^n$). Тогда $z-y=2^{u}d^{n-1}a^n$ (соответственно $z+y=2^{u}d^{n-1}a^n$), где $a,d$ - натуральные числа, число $u$ равно 0 или 1, причем $2^u$ и $d$ делят $n$.

Вопросы. Как может одновременно выполнятся $x^n+y^n=z^n$ и $x^n-y^n=z^n$, даже если $n$ нечетно? И еще вопрос, если доказывается, что $z-y$ и $n$ имеют общий делитель, то это вроде как доказывает первый случай ВТФ? Это ошибка перевода, или (что более вероятно) я что-то важное упускаю из виду?

[grizzly]

vmh в сообщении #1275597 писал(а):

Вопросы. Как может одновременно выполнятся $x^n+y^n=z^n$ и $x^n-y^n=z^n$, даже если $n$ нечетно?

Не вникая в рассуждения, скажу что имеется в виду в этой формулировке. В теореме даётся две параллельные формулировки. Одна -- для бесквадратного целого $n>2$, другая -- для нечётного $n$ (вот здесь не очень аккуратно; я бы решил, что имеется в виду нечётное бесквадратное). Всё, что в обычном тексте, относится к первой параллели, в скобках -- ко второй.

[shwedka]

vmh в сообщении #1275597 писал(а):

(1D) Пусть $n>2$ - бесквадратное целое число и отличные от нуля попарно взаимнопростые целые числа $x,y,z$ таковы, что $x^n+y^n=z^n$ (соответственно $n$ нечетно и $x^n-y^n=z^n$).

Погрешность в переводе.
В оригинале написано

Цитата:

(1D) If $n > 2$ is a square-free integer, if $x, y, z$ are nonzero pairwise
relatively prime integers such that $x^n + y^n = z^n$ (respectively, if $n$
is odd and $x^n-y^n = z^n$),

То есть, в переводе дважды выпало важное выделенное слово, при этом, в первом случае оно неправильно переведено. Если его вставить, структура высказывания становится понятной. Рассматриваются не 2 случая, как представляется grizzly, бесквадратные и нечетные. Делается предположение, что показатель бесквадратный. А то, что в скобках - уточнение. на это указывает первое пропущенное 'if'.


Итак, правильный перевод
Пусть $n>2$ - бесквадратное целое число и ЕСЛИ отличные от нуля попарно взаимнопростые целые числа $x,y,z$ таковы, что $x^n+y^n=z^n$ (соответственно, ЕСЛИ (, БОЛЕЕ ТОГО,) $n$ нечетно и $x^n-y^n=z^n$).

То есть, второе ЕСЛИ в скобках - альтернатива первому ЕСЛИ и частный случай ПУСТЬ

[grizzly]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #1275660 писал(а):

Рассматриваются не 2 случая, как представляется grizzly, бесквадратные и нечетные.

grizzly в сообщении #1275609 писал(а):

Одна -- для бесквадратного целого $n>2$, другая -- для нечётного $n$ (вот здесь не очень аккуратно; я бы решил, что имеется в виду нечётное бесквадратное).

Всё-таки мне представлялось правильно :) Хотя перевод действительно неаккуратен.

Спасибо, что уточнили и поправили. (Я вообще не догадался поискать оригинал.)

[Antoshka]

В книге еще рассматриваются числа вида $a^2+3b^2,(a,b)=1,a,b\in\mathbb{N}$. Там сказано, что каждый простой делитель такого числа имеет точно такую же структуру. А сколькими способами можно представить произвольное натуральное число $c$ в виде $c=a^2+3b^2$?

[grizzly]

Antoshka в сообщении #1280882 писал(а):

А сколькими способами можно представить произвольное натуральное число $c$ в виде $c=a^2+3b^2$?

Зависит от числа $c$, конечно. Вряд ли известен исчерпывающий ответ на этот вопрос. Но вопрос интересный, да. См. комментарий Слоуна к последовательности A158937.

[DiviSer]

Antoshka в сообщении #1280882 писал(а):

В книге еще рассматриваются числа вида $a^2+3b^2,(a,b)=1,a,b\in\mathbb{N}$. Там сказано, что каждый простой делитель такого числа имеет точно такую же структуру. А сколькими способами можно представить произвольное натуральное число $c$ в виде $c=a^2+3b^2$?

В теории квадартичных форм весьма просто даётся ответ на этот вопрос, в частности для данной формы достаточно разложить на простые множители число с.

[Antoshka]

DiviSer в сообщении #1281968 писал(а):

В теории квадартичных форм весьма просто даётся ответ на этот вопрос, в частности для данной формы достаточно разложить на простые множители число с.

Вы хотите сказать, что количество простых множителей и есть искомое число способов представления?

[DiviSer]

Antoshka в сообщении #1281988 писал(а):

DiviSer в сообщении #1281968 писал(а):

В теории квадартичных форм весьма просто даётся ответ на этот вопрос, в частности для данной формы достаточно разложить на простые множители число с.

Вы хотите сказать, что количество простых множителей и есть искомое число способов представления?

Если число с безквадратичное, то количество представлений формой равна количеству делителей данного числа (1 не считаем делетелем, а само число да), в общем случае учитываем кратность, но там тоже примерно так же

-- Вс янв 07, 2018 15:51:49 --

DiviSer в сообщении #1282005 писал(а):

Antoshka в сообщении #1281988 писал(а):

DiviSer в сообщении #1281968 писал(а):

В теории квадартичных форм весьма просто даётся ответ на этот вопрос, в частности для данной формы достаточно разложить на простые множители число с.

Вы хотите сказать, что количество простых множителей и есть искомое число способов представления?

Если число с безквадратичное, то количество представлений формой равна количеству делителей данного числа (1 не считаем делетелем, а само число да), в общем случае учитываем кратность, но там тоже примерно так же

Забыл сказать что все делители числа с должны быть сравнимы с 1 по модулю 3. Иначе количество представлений разумеется равно 0)))

[victor.l]

О количестве решений. В учебнике Бухштаба подробно разобрано для случаев $x^2+y^2=n$ и $x^2+2y^2=n$. Например для $x^2+py^2=n$ где p равно3 или 5 или7 расчет по сути аналогичен.