2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"
Сообщение17.12.2017, 01:24 


20/08/17
8
Добрый день, уважаемые участники.
На мой взгляд будет полезна тема, в которой можно задать вопросы, возникающие при прочтении данной книги. Может это уместнее в разделе "Помогите решить/разобраться", но все на усмотрение модераторов. Книга П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма для любителей" доступна по ссылке здесь.

На стр. 120 автор приводит и доказывает следующее утверждение:
(1D) Пусть $n>2$ - бесквадратное целое число и отличные от нуля попарно взаимнопростые целые числа $x,y,z$ таковы, что $x^n+y^n=z^n$ (соответственно $n$ нечетно и $x^n-y^n=z^n$). Тогда $z-y=2^{u}d^{n-1}a^n$ (соответственно $z+y=2^{u}d^{n-1}a^n$), где $a,d$ - натуральные числа, число $u$ равно 0 или 1, причем $2^u$ и $d$ делят $n$.

Вопросы. Как может одновременно выполнятся $x^n+y^n=z^n$ и $x^n-y^n=z^n$, даже если $n$ нечетно? И еще вопрос, если доказывается, что $z-y$ и $n$ имеют общий делитель, то это вроде как доказывает первый случай ВТФ? Это ошибка перевода, или (что более вероятно) я что-то важное упускаю из виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"
Сообщение17.12.2017, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
vmh в сообщении #1275597 писал(а):
Вопросы. Как может одновременно выполнятся $x^n+y^n=z^n$ и $x^n-y^n=z^n$, даже если $n$ нечетно?
Не вникая в рассуждения, скажу что имеется в виду в этой формулировке. В теореме даётся две параллельные формулировки. Одна -- для бесквадратного целого $n>2$, другая -- для нечётного $n$ (вот здесь не очень аккуратно; я бы решил, что имеется в виду нечётное бесквадратное). Всё, что в обычном тексте, относится к первой параллели, в скобках -- ко второй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"
Сообщение17.12.2017, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
vmh в сообщении #1275597 писал(а):
(1D) Пусть $n>2$ - бесквадратное целое число и отличные от нуля попарно взаимнопростые целые числа $x,y,z$ таковы, что $x^n+y^n=z^n$ (соответственно $n$ нечетно и $x^n-y^n=z^n$).

Погрешность в переводе.
В оригинале написано
Цитата:
(1D) If $n > 2$ is a square-free integer, if $x, y, z$ are nonzero pairwise
relatively prime integers such that $x^n + y^n = z^n$ (respectively, if $n$
is odd and $x^n-y^n = z^n$),

То есть, в переводе дважды выпало важное выделенное слово, при этом, в первом случае оно неправильно переведено. Если его вставить, структура высказывания становится понятной. Рассматриваются не 2 случая, как представляется grizzly, бесквадратные и нечетные. Делается предположение, что показатель бесквадратный. А то, что в скобках - уточнение. на это указывает первое пропущенное 'if'.


Итак, правильный перевод
Пусть $n>2$ - бесквадратное целое число и ЕСЛИ отличные от нуля попарно взаимнопростые целые числа $x,y,z$ таковы, что $x^n+y^n=z^n$ (соответственно, ЕСЛИ (, БОЛЕЕ ТОГО,) $n$ нечетно и $x^n-y^n=z^n$).

То есть, второе ЕСЛИ в скобках - альтернатива первому ЕСЛИ и частный случай ПУСТЬ

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"
Сообщение17.12.2017, 12:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #1275660 писал(а):
Рассматриваются не 2 случая, как представляется grizzly, бесквадратные и нечетные.
    grizzly в сообщении #1275609 писал(а):
    Одна -- для бесквадратного целого $n>2$, другая -- для нечётного $n$ (вот здесь не очень аккуратно; я бы решил, что имеется в виду нечётное бесквадратное).
Всё-таки мне представлялось правильно :) Хотя перевод действительно неаккуратен.

Спасибо, что уточнили и поправили. (Я вообще не догадался поискать оригинал.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"
Сообщение03.01.2018, 10:29 


13/05/16
355
Москва
В книге еще рассматриваются числа вида $a^2+3b^2,(a,b)=1,a,b\in\mathbb{N}$. Там сказано, что каждый простой делитель такого числа имеет точно такую же структуру. А сколькими способами можно представить произвольное натуральное число $c$ в виде $c=a^2+3b^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"
Сообщение03.01.2018, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Antoshka в сообщении #1280882 писал(а):
А сколькими способами можно представить произвольное натуральное число $c$ в виде $c=a^2+3b^2$?
Зависит от числа $c$, конечно. Вряд ли известен исчерпывающий ответ на этот вопрос. Но вопрос интересный, да. См. комментарий Слоуна к последовательности A158937.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"
Сообщение07.01.2018, 12:27 


28/03/10
62
Antoshka в сообщении #1280882 писал(а):
В книге еще рассматриваются числа вида $a^2+3b^2,(a,b)=1,a,b\in\mathbb{N}$. Там сказано, что каждый простой делитель такого числа имеет точно такую же структуру. А сколькими способами можно представить произвольное натуральное число $c$ в виде $c=a^2+3b^2$?

В теории квадартичных форм весьма просто даётся ответ на этот вопрос, в частности для данной формы достаточно разложить на простые множители число с.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"
Сообщение07.01.2018, 13:38 


13/05/16
355
Москва
DiviSer в сообщении #1281968 писал(а):
В теории квадартичных форм весьма просто даётся ответ на этот вопрос, в частности для данной формы достаточно разложить на простые множители число с.

Вы хотите сказать, что количество простых множителей и есть искомое число способов представления?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"
Сообщение07.01.2018, 14:49 


28/03/10
62
Antoshka в сообщении #1281988 писал(а):
DiviSer в сообщении #1281968 писал(а):
В теории квадартичных форм весьма просто даётся ответ на этот вопрос, в частности для данной формы достаточно разложить на простые множители число с.

Вы хотите сказать, что количество простых множителей и есть искомое число способов представления?

Если число с безквадратичное, то количество представлений формой равна количеству делителей данного числа (1 не считаем делетелем, а само число да), в общем случае учитываем кратность, но там тоже примерно так же

-- Вс янв 07, 2018 15:51:49 --

DiviSer в сообщении #1282005 писал(а):
Antoshka в сообщении #1281988 писал(а):
DiviSer в сообщении #1281968 писал(а):
В теории квадартичных форм весьма просто даётся ответ на этот вопрос, в частности для данной формы достаточно разложить на простые множители число с.

Вы хотите сказать, что количество простых множителей и есть искомое число способов представления?

Если число с безквадратичное, то количество представлений формой равна количеству делителей данного числа (1 не считаем делетелем, а само число да), в общем случае учитываем кратность, но там тоже примерно так же

Забыл сказать что все делители числа с должны быть сравнимы с 1 по модулю 3. Иначе количество представлений разумеется равно 0)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по книге П. Рибенбойма "Последняя теорема Ферма"
Сообщение26.01.2018, 10:17 


29/10/11
94
О количестве решений. В учебнике Бухштаба подробно разобрано для случаев $x^2+y^2=n$ и $x^2+2y^2=n$. Например для $x^2+py^2=n$ где p равно3 или 5 или7 расчет по сути аналогичен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group