Комплексные числа в школе

[DimaM]

Не скажу за математику, а вот в физике при рассмотрении колебаний и, особенно, цепей переменного тока комплексные числа весьма полезны.
Правда, это все опыт преподавания в физматшколе, не в обычной.

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1275374 писал(а):

Не скажу за математику, а вот в физике при рассмотрении колебаний и, особенно, цепей переменного тока комплексные числа весьма полезны.

А там уже можно: это скорее граница между 10-11 классами, к этому моменту из тригонометрических преобразований уже выжато все. В свое время, кода комплексные числа входили в общую программу, они примерно там и появлялись.

[wrest]

Pulseofmalstrem в сообщении #1275242 писал(а):

как Вы думаете не лучше бы ознакомить детей в этом возрасте с комплексными числами, а затем с их помощью научить детей и тригонометрии

Я думаю, что не лучше.

[alesha_popovich]

Pulseofmalstrem в сообщении #1275261 писал(а):

Зато комплексные числа могут стать прекрасным способ демонстрации красоты математики, а также неплохим мостиком к линейной алгебре, помимо традиционной геометрии.

Только сначала надо разобраться, кому вы собрались эту красоту демонстрировать, и в состоянии ли подопытные ее оценить. В физмат школе это, может, и пройдет. Но все, чего вы добьетесь в обычной - это дадите еще один повод ненавидеть математику и прогуливать уроки. Если один ученик из класса это оценит - можете считать, что эксперимент удался, зато все остальные станут понимать еще меньше.

[arseniiv]

Кстати, никто не вспомнил одно из наиболее красочных вероятных следствий: сильное увеличение масштабов ругани по поводу места ударения в ко́мпле́ксные.

[fred1996]

Ну а это еще вопрос.
В принципе ведь детей учат множествам чисел в средних классах.
Вводят понятия целых чисел, вещественных, рациональных, иррациональных.
Пока еще не так строго, как в теории функций вещественной переменной. Делается это с помощью наглядных представлений о дробях или вещественной оси (графически).
Мне кажется, в этот момент можно дать и вводную в виде комплексных чисел и арифметических операций над ними. Алгебраически и графически (в виде векторов).
Честно говоря непонятно пока, какие примеры использования им предложить. Но по крайней мере не будет того временного разрыва между вещественными и комплексными числами, который мы наблюдаем сейчас. Углы они проходят примерно тогда же, когда и множества чисел, так что можно и наглядно демонстрировать арифметические операции графическим способом. По крайней мере в этом возрасте они воспримут комплексные числа, как нечто естетсвенное, как и все остальное, что им подсовывают взрослые. И потом у них не будет ощущения, что комплексные числа - это нечто совсем искусственное.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1275408 писал(а):

И потом у них не будет ощущения, что комплексные числа - это нечто совсем искусственное.

А чем плохо это ощущение? Ну вот например у меня оно такое и есть. Я не математик и не физик, образование (радио)техническое.

[Pulseofmalstrem]

wrest
С одной стороны в прикладных вопросах они действительно смотрятся искусственно, так как мы привыкаем со школы мыслить числовую прямую, и интуитивно связываем числа с количеством (так или иначе), чему способствует наличие порядка на множестве вещественных чисел. Однако с алгебраической точки зрения комплексные числа самые правильные, так как алгебраически замкнуты.

[wrest]

Pulseofmalstrem в сообщении #1275439 писал(а):

Однако с алгебраической точки зрения комплексные числа самые правильные, так как алгебраически замкнуты.

А при чем тут школа и школьники?

[Pulseofmalstrem]

wrest
Тут все зависит от того, что именно мы хотим от школьного образования: если мы хотим просто заставить детей порешать задачки и поупражнять мозги - то вообще нет разницы чему учить, если хотим дать какое-то общее обозрение того что есть - тогда надо этой темы касаться, если же мы хотим дать "бытовую математику", то тогда пожалуй, и тригонометрия не слишком-то и важна. Мне кажется, что школьный курс тригонометрии просто историческая данность, ведь есть много других не слишком сложных разделов, где так же можно откопать множество простых задач.

[Metford]

Pulseofmalstrem в сообщении #1275615 писал(а):

Мне кажется, что школьный курс тригонометрии просто историческая данность

Ну да... Вот с таким настроем и приходят на первый курс студенты, не знающие формул понижения степени, формул сложения и подобных формул "джентльменского набора". Они не знают, как выглядит график, скажем, арктангенса, без колебаний называют (не)чётным арккосинус (и обращаются с ним соответственно) и т.д. Да, может быть, в школе тригонометрии многовато, но назвать её данью истории... Нет!

[Pulseofmalstrem]

Metford
Зато если они будут знать формулу Эйлера и формулу Муавра, а также бином Ньютона - то они получать все эти формулы на любом экзамене проще простого, даже не прибегая к шпаргалкам. А может быть и вовсе уклонятся от использования косинусов и синусов, если это возможно, как например в случае с комплексной аплитудой при рассмотрении колебаний.

[Metford]

Вы знаете, я всегда выступал за то, чтобы помнить только минимум, а остальное - по желанию. Но это должен быть разумный минимум, десяток тригонометрических формул в него спокойно помещается - время экономится невероятно. А то так давайте вообще ограничимся аксиомами, а? Красота же - и главное, всё выведется.

Pulseofmalstrem в сообщении #1275619 писал(а):

А может быть и вовсе уклонятся от использования косинусов и синусов, если это возможно

Зачем? Да и странный запрет - не пользоваться несколькими стандартными элементарными функциями, изученными вдоль и поперёк. К чему этот минимализм? Разнообразие методов - всегда лучше. И это не противоречит знанию бинома Ньютона - для самых разнообразных целей.

В общем, признавайтесь: Вас в школе замучили тригонометрией, и теперь есть неодолимое желание ей отомстить?

Если же по теме, то в школе легко можно было бы найти место для комплексных чисел - в смысле "найти время для них". Не сложнее, чем работа с иррациональными числами с задачами типа исключения иррациональности из знаменателя. Другое дело, нужно ли?.. Не знаю даже... Я в школе о них знал и даже применял тайком, когда лень было вспоминать какой-нибудь синус тройного угла. А с другой стороны, этот же синус я спокойно выводил и через тригонометрию чистую. Правильно здесь говорили о том, что естественно было бы распространить степень и логарифм на "новые" числа, а это уже не так просто. Например, в школе ведь оперируют арифметическим квадратным корнем, который принимает только положительные значения. А тут неожиданно окажется, что это некое искусственное ограничение. Обычно это прозрение приходится на институт ("забудьте, что вам говорили в школе..."). Но когда в одних и тех же стенах сначала говорят одно, а потом - прямо противоположное...
Так что, наверное, в школе можно обойтись и без комплексных чисел. Разве что на факультативе где-нибудь силами энтузиаста-учителя для энтузиастов-учеников.

P.S. А видеть в комплексных числах инструмент для обучения тригонометрии - это "всё равно, что использовать логарифмическую линейку для забивания гвоздей". Мне так думается.

[arseniiv]

Metford в сообщении #1275618 писал(а):

Вот с таким настроем и приходят на первый курс студенты, не знающие формул понижения степени, формул сложения и подобных формул "джентльменского набора". Они не знают, как выглядит график, скажем, арктангенса, без колебаний называют (не)чётным арккосинус (и обращаются с ним соответственно) и т.д.

Да ладно, это же не всё содержание школьной тригонометрии. Там ещё куча всяких непонятных длинных уравнений, а мнемонику для формул приведения и других полезных вещей при этом никто не приводит. Но если убрать длинные уравнения, ЕГЭ, говорят, будет нечем заполнять. (Хотя это всё слухи, меня там давно не было, не имею понятия.)

[wrest]

Pulseofmalstrem в сообщении #1275615 писал(а):

Тут все зависит от того, что именно мы хотим от школьного образования: если мы хотим просто заставить детей порешать задачки и поупражнять мозги - то вообще нет разницы чему учить, если хотим дать какое-то общее обозрение того что есть - тогда надо этой темы касаться, если же мы хотим дать "бытовую математику", то тогда пожалуй, и тригонометрия не слишком-то и важна.

Вот вы дали три альтернативы.
1. "Просто заставить"
2. "Дать общее обозрение"
3. "Не только комплексные числа, но и тригонометрия не важна (читай: не нужна)"

Две из трех сформулированы негативно, и вы как бы подталкиваете читателя к тому, что верная альтернатива -- номер 2.
При этом вы как бы сжимаете школьное образование до математики, как будто других предметов нет.

А меж тем, синусы и косинусы широко используются в той же физике: например в механике при вычислении проекций сил, скоростей, импульсов на координатные оси. И там применяется именно тригонометрический подход, когда синус/косинус/тангенс это отношение длин сторон в прямоугольном треугольнике. Куда вы там приткнёте комплексные числа чтобы они вставились естественным образом, непонятно.