Раскрытие несобственного интеграла

[provincialka]

SPgum в сообщении #1273931 писал(а):

это не отвечает на вопрос о расхождении значений при численном счете и вычислениях в аналитическом виде

provincialka в сообщении #1273665 писал(а):

при больших $m$ и $x$ вычисление $\cos(mx)$ может содержать большую погрешность из-за недостаточно точного значения $\pi$.

А что касается сходимости, просто оцениваем подынтегральную фунцкию по модулю:
$\left|\frac {(kz^2+4)\cos z(x-t)} {z^4+kz^2+4}\right| \leqslant \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4}\sim\frac{k}{z^2}$, на бесконечности интеграл от последней функции сходится.

[SPgum]

Параметр $k$ по физическому смыслу задачи (как коэффициент сцепления грунта) может принимать значения от 0 до 0.9 т.е.
$0 \leqslant k \leqslant 0.9$

-- 11.12.2017, 23:41 --

Благодарю за разъяснение относительно сходимости (покрайне мере буду знать на что опираться)

provincialka в сообщении #1274082 писал(а):

А что касается сходимости, просто оцениваем подынтегральную фунцкию по модулю:
$\left|\frac {(kz^2+4)\cos z(x-t)} {z^4+kz^2+4}\right| \leqslant \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4}\sim\frac{k}{z^2}$, на бесконечности интеграл от последней функции сходится.

Но, тогда у меня опять возникает вопрос как оценить то, что для заданного интеграла цифры $x=11, t=6, k=0.5$ большие ?
"при больших $m$ и $x$ вычисление $\cos(mx)$ может содержать большую погрешность из-за недостаточно точного значения $\pi$".
Откуда берется разница вычесленных значений порядка 10 тысяч?

[SPgum]

И еще вопрос!?
То, что интеграл сходится по признаку сходимости - означает ли, что это утверждение, а не всего лишь признак?

[Someone]

SPgum в сообщении #1274343 писал(а):

означает ли, что это утверждение, а не всего лишь признак?

??? Признак сходимости является утверждением. Как и любая другая теорема.

[SPgum]

Простите, но тогда я не могу понять, почему если исходные интегралы сходятся
А что касается сходимости, просто оцениваем подынтегральную фунцкию по модулю:
$\left|\frac {(kz^2+4)\cos z(x-t)} {z^4+kz^2+4}\right| \leqslant \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4}\sim\frac{k}{z^2}$, на бесконечности интеграл от последней функции сходится.
$\left|\frac {(kz^2+4)\cos z(x+t)} {z^4+kz^2+4}\right| \leqslant \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4}\sim\frac{k}{z^2}$
То почему сумма их численных значений численно не равна значению интеграла?
То есть почему, уже начиная с цифр $x=11, t=4, k=0.5$ перестает выполняться равенство?
$\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos zt\cos zx} {z^4+kz^2+4}\,dz$\not = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos (x-t)z} {z^4+kz^2+4}\,dz+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos (x+t)z} {z^4+kz^2+4}\,dz$
Расчет проводил в Wolfram matematik

[Lia]

SPgum

SPgum в сообщении #1274549 писал(а):

То почему сумма их численных значений численно не равна значению интеграла?

Кто ж Вас знает, почему. Выкладывайте код и что получалось.

[Someone]

SPgum в сообщении #1274549 писал(а):

То есть почему, уже начиная с цифр $x=11, t=4, k=0.5$ перестает выполняться равенство?
$\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos zt\cos zx} {z^4+kz^2+4}\,dz\not = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos (x-t)z} {z^4+kz^2+4}\,dz+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos (x+t)z} {z^4+kz^2+4}\,dz$
Расчет проводил в Wolfram matematik

Wolfram Mathematica 9.0. И правда кучу сообщений выдаёт, когда вычисляет сумму интегралов. И результат не совпадают с результатом вычисления интеграла в левой части. Видимо, вычисления оказались сильно неточными.

Но я поэкспериментировал с параметром WorkingPrecision. Наибольшее значение, с которым вычисление левой части прошло без лишних сообщений, оказалось WorkingPrecision -> 33. Результат: $0.000631135199939892933752219540512346$.
При вычислении суммы интегралов наименьшим возможным оказалось значение WorkingPrecision -> 35. Результат: $0.00063113519993989293375221954051234710$.
И есть другие полезные параметры.

У Вас в процитированной формуле имеется лишний знак доллара после первого интеграла.

-- Ср дек 13, 2017 15:26:29 --

Забыл сказать. Значение $k$ я задавал в виде обыкновенной дроби $\frac 12$, а не в виде десятичной дроби $0.5$. Иначе появляются предупреждения о недостаточной точности задания подынтегральной функции.