Хитрая задача..

[Андрей123]

Быть может, проще будет решать если для каждого конкретного положения винтовой оси записывать уравнение винтовой линии в системе координат, в которой ось z совпадает с осью линии(т.е. по сути оно инвариантно), а меняться будут координаты точек.

[PSP]

Андрей123 писал(а):

Быть может, проще будет решать если для каждого конкретного положения винтовой оси записывать уравнение винтовой линии в системе координат, в которой ось z совпадает с осью линии(т.е. по сути оно инвариантно), а меняться будут координаты точек.

Не получиться: ведь надо найти все винтовые линии заданной частоты вращения, проходящие через 2-е заданные точки..

[Андрей123]

Почему не получиться? Вы и найдёте все линии. Каждое конкретное положение оси винтовой линии задаётся углами к осям. Это положение определяет новую систему координат, полученную поворотом исходной вместе с винтовой линией как твёрдого тела.В новой системе координат уравнение винтовой линии останется прежним, а координаты точек поменяются.

[Антипка]

PSP писал(а):

А в самом общем виде задача выглядит так:


Есть множество кривых, заданных параметрически:
$x(t) = - \frac{C_1}{k} \cos(kt)+\frac{C_2}{k} \sin(kt)+\frac{D_1t}{k^2}+C_3$

$y(t) = - \frac{C_4}{k} \cos(kt)+\frac{C_5}{k} \sin(kt)+\frac{D_2t}{k^2}+C_6$

$z(t) = - \frac{C_7}{k} \cos(kt)+\frac{C_8}{k} \sin(kt)+\frac{D_3t}{k^2}+C_9$

k -фиксированно.

Нужно найти среди этого множества кривых такое их подмножество кривых, которые проходят через 2-е заданные точки $(x_0,y_0,z_0),(x_1,y_1,z_1)$

Как её решать, не знаю..Нужны идеи..

Факт 1: предположим, что уравнение кривой в пространстве задано параметрически:

\[ \left\{ \begin{gathered} x = f(t) \hfill \\ y = g(t) \hfill \\ z = h(t) \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

Тогда линейное преобразование параметра не меняет кривой, т.е. система

\[ \left\{ \begin{gathered} x = f(at + b) \hfill \\ y = g(at + b) \hfill \\ z = h(at + b) \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

задает точно ту же кривую, что и предыдущая при любых a,b, a не равно 0.

Факт 2. Предложенные уравнения кривой инвариантны относительно смещения начала отсчета по t. Т.е. если мы заменим t на

\[t - \tau \]

, мы получим уравнения точно такого же вида (но с другими неизвестными коэффициентами C,D). Следовательно, без нарушения общности задачи мы вправе выбрать "момент времени" прохождения, т.е. соответствующее значение параметра t? любой из заданных точек/ Вполне резонно положить t=0.

Факт 3. Опять же без нарушения общности задачи можно "убрать" все "k" в значения соответствующих коэффициентов C,D, и поменяем знаки при косинусах - чтобы все было единообразно. Вообще, меня умиляет запись общего решения некоторого диф.ура y=f(x)-C/2. Зачем минус, зачем пополам - произвольную константу в общих решениях принято записывать +C. Шаг влево, шаг вправо - помарка в решении.

С учетом всех перечисленных фактов решаем такую задачу: найти все кривые вида

\[ \left\{ \begin{gathered} x = C_1 \cos (kt) + C_2 \sin (kt) + D_1 t + C_3 \hfill \\ y = C_4 \cos (kt) + C_5 \sin (kt) + D_2 t + C_6 \hfill \\ z = C_7 \cos (kt) + C_8 \sin (kt) + D_3 t + C_9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

проходящие через две заданные точки причем через первую точку кривая проходит при значении параметра t=0. Из условия прохождения через первую точку при t=0 немедленно получаем, что

\[ \left\{ \begin{gathered} C_1 = x_0 - C_3 \hfill \\ C_4 = y_0 - C_6 \hfill \\ C_7 = z_0 - C_9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

Записываем условия для второй точки:

\[ \left\{ \begin{gathered} x_1 = (x_0 - C_3 )\cos (kt_1 ) + C_2 \sin (kt_1 ) + D_1 t_1 + C_3 \hfill \\ y_1 = (y_0 - C_6 )\cos (kt_1 ) + C_5 \sin (kt_1 ) + D_2 t_1 + C_6 \hfill \\ z_1 = (z_0 - C_9 )\cos (kt_1 ) + C_8 \sin (kt_1 ) + D_3 t_1 + C_9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

Откуда могут быть найдены

\[D_1 ,D_2 ,D_3 \]

Таким образом, произвольно варьируя параметр

\[t_1 \]

(не равен 0) и

\[C_2 ,C_3 ,C_5 ,C_6 ,C_8 ,C_9 \]

мы получим ВСЕ кривые, удовлетворяющие заданному свойству.

PSP писал(а):

(Задача имеет очень серьёзный физический смысл..)

Ну валяйте, рассказывайте.

[PSP]

Записываем условия для второй точки:

\[ \left\{ \begin{gathered} x_1 = (x_0 - C_3 )\cos (kt_1 ) + C_2 \sin (kt_1 ) + D_1 t_1 + C_3 \hfill \\ y_1 = (y_0 - C_6 )\cos (kt_1 ) + C_5 \sin (kt_1 ) + D_2 t_1 + C_6 \hfill \\ z_1 = (z_0 - C_9 )\cos (kt_1 ) + C_8 \sin (kt_1 ) + D_3 t_1 + C_9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

Откуда могут быть найдены

\[D_1 ,D_2 ,D_3 \]

КАК?

Добавлено спустя 8 минут 36 секунд:

Антипка писал(а):

PSP писал(а):

(Задача имеет очень серьёзный физический смысл..)

Ну валяйте, рассказывайте.

В общем,этими уравнениями в параметрической форме в самом общем виде задана траектория в виде обыкновенной винтовой линии.
(в обще-то ,чтобы это была точно обыкновееная винтовая линия, на коэффициенты должны быть наложены определённые связи,но я пока не разобрался, какие).
А задача прохождения этих линий через 2-е заданные точки -это фактически математическая модель эксперимента по дифракции электронов...Так что её смысл очень физический и серьёзный...

[Антипка]

PSP писал(а):

Записываем условия для второй точки:

\[ \left\{ \begin{gathered} x_1 = (x_0 - C_3 )\cos (kt_1 ) + C_2 \sin (kt_1 ) + D_1 t_1 + C_3 \hfill \\ y_1 = (y_0 - C_6 )\cos (kt_1 ) + C_5 \sin (kt_1 ) + D_2 t_1 + C_6 \hfill \\ z_1 = (z_0 - C_9 )\cos (kt_1 ) + C_8 \sin (kt_1 ) + D_3 t_1 + C_9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

Откуда могут быть найдены

\[D_1 ,D_2 ,D_3 \]

КАК?

Непосредственно из приведенных уравнений. Как функции НЕЗАВИСИМЫХ переменных

\[t_1, C_2 ,C_3 ,C_5 ,C_6 ,C_8 ,C_9 \]

Можно, кстати, заметить, что наборы констант

\[(t_1, C_2 ,C_3 ,C_5 ,C_6 ,C_8 ,C_9) \]

и

\[(-t_1, -C_2 ,C_3 ,C_5 ,C_6 ,C_8 ,C_9) \]

задают одну и ту же линию, поэтому область изменения параметра

\[t_1\]

можно ограничить областью положительных чисел. Мне непонятно, что именно непонятно вам. Вы просили указать ВСЕ кривые заданного вида, проходящие через две заданные точки. Пожалуйста, я их все вам указал. При любых значениях независимых параметров

\[t_1>0, C_2 ,C_3 ,C_5 ,C_6 ,C_8 ,C_9 \]

(остальные, "зависимые" коэффициенты вычисляются как функции независимых по указанным выше соотношенияс) определяемая ими кривая будет удовлетворять вашим условиям. Можно также показать, что никакие два различных набора из семи чисел

\[(t_1>0, C_2 ,C_3 ,C_5 ,C_6 ,C_8 ,C_9) \]

не задают одну и ту же кривую в пространстве. Или вам надо что-то другое?