Треугольники в треугольнике

[fred1996]

Читая о свойствах треугольников, натыкаешся на интересные порой вещи.
Вот одна из них.
Пусть у нас есть треугольник $ABC$. Пусть точка $I$ - центр вписанной окружности.
Доказать, что центры окружностей, описанных вокруг трех полученных треугольников лежат на окружности, центр которой совпадает с центром окружности, описанной вокруг исходного треугольника $ABC$.

[fred1996]

Попалась задачка на похожую тему.
Пусть у нас есть остроугольный треугольник $ABC$ с длинами сторон $AB<AC<BC$
Пусть $I$ - центр вписанной окружности, а $O$ - описанной.
Доказать что прамая $IO$ пересекает стороны $AB$ и $BC$

[function]

Первая задача легко следует из леммы о трезубце (или леммы о куриной лапке).

[wrest]

fred1996 в сообщении #1273109 писал(а):

Доказать что прамая $IO$ пересекает стороны $AB$ и $BC$

Ну тут можно вашим методом.
Допустим $ABC$ равнобедренный, $AB<AC=BC$
Тогда центры обоих окружностей лежат на медиане-биссектрисе-высоте $BM$, причем $CO$<$CI$. $OI$ проходит через $C$ и $AB$.
Зафиксируем точки $A$ и $C$, а точку $B$ передвинем в точку $B'$ вдоль прямой $AB$ так что $AB'>AB$, но по-прежнему $AB'$<$AC$. Тогда получим треугольник в котором $AB'<AC<CB'$, в котором построим описанную и вписанную окружности с центрами $O'$ и $I'$
Точки $O$ и $O'$ будут принадлежать к серединному перпендикуляру к $AC$, общему для обоих треугольников, а точки $I$ и $I'$ будут принадлежать к биссектрисе угла $\angle CAB$, тоже общей для обоих треугольников.
Обозначим как $X$ точку пересечения указанных серединного перпендикуляра к $AC$ и биссектрисы угла $\angle CAB$.
Точки $I'$ и $O'$ будут принадлежать отрезкам $IX$ и $OX$ соответственно до тех пор пока $AB'<AC$. Ну а $O'$ будет между $O$ и $X$ потому что она лжит на серединном перпендикуляре к $AB'$, а он подвинется вправо на $BB'/2$. А $I'$ будет между $I$ и $X$ потому что угол $\angle ACB' > \angle ACB$, а $I'$ лежит на биссектрисе угла $\angle ACB'$
Ну и из этого очевидно что прямая $O'I'$ будет пересекать стороны $AB'$ и $CB'$

(Картинка)

А... нет. Еще надо доказать что проекция $O'$ на $AB$ всегда будет правее проекции $I'$ на $AB$.

[fred1996]

У меня тут много накопилось задачек с треугольниками не шибко сложных, но и не совсем прозрачных. Все они взяты с олимпиад не самого нижнего уровня. Чтобы не забивать олимпиадную ветку одними треугольниками, наверное лучше задачи по ним я буду публиковать в одной теме.
Просьба к тем, кто решит задачи, просто публиковать решение под тегом off
Задача 3.
Пусть у нас имеется остроугольный треугольник $ABC$.
Нарисуем окружность с диаметром $AB$. Высота $CC'$ пересекает ее в точках $M, N$
Нарисуем окружность с диаметром $BC$. Высота $AA'$ пересекает ее в точках $P, Q$
Доказать, что эти точки $M, N, P, Q$ лежат на одной окружности.

#905

[Markiyan Hirnyk]

Полагаю, что задачу 3 можно решить средствами аналитической геометрии, применяя Мэйпл, как здесь.

[fred1996]

Markiyan Hirnyk
Ну в общем я слышал, что алгебра убила геометрические построения.
Но эту ветку я предлагаю решать построениями.

[amon]

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1273331 писал(а):

Полагаю, что задачу 3 можно решить средствами аналитической геометрии, применяя Мэйпл, как здесь.

Немецкие ученые установили, что неумеренное употребление Mapl и Matematica приводит к атрофии головного мозга и собираются приравнять эти продукты к алкоголю и наркотикам.

[fred1996]

amon в сообщении #1273364 писал(а):

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1273331 писал(а):

Полагаю, что задачу 3 можно решить средствами аналитической геометрии, применяя Мэйпл, как здесь.

Немецкие ученые установили, что неумеренное употребление Mapl и Matematica приводит к атрофии головного мозга и собираются приравнять эти продукты к алкоголю и наркотикам.

(Оффтоп)

А у меня всю жизнь было естетсвенное отторжение любых видов наркотиков. Вот почему, проживая в самом марихуанистом Штате, я никогда не сталкивался с этими продуктами.

[fred1996]

Задача 4.
Пусть у нас есть тупоугольный треугольник $ABC$
Угол $C$ тупой, а угол $A$ в два раза больше угла $B$. Пусть все стороны - целые числа.
Найти минимальный периметр треугольника.

#911

[Sergic Primazon]

fred1996 в сообщении #1273316 писал(а):

У меня тут много накопилось задачек с треугольниками не шибко сложных, но и не совсем прозрачных. Все они взяты с олимпиад не самого нижнего уровня. Чтобы не забивать олимпиадную ветку одними треугольниками, наверное лучше задачи по ним я буду публиковать в одной теме.
Просьба к тем, кто решит задачи, просто публиковать решение под тегом off
Задача 3.
Пусть у нас имеется остроугольный треугольник $ABC$.
Нарисуем окружность с диаметром $AB$. Высота $CC'$ пересекает ее в точках $M, N$
Нарисуем окружность с диаметром $BC$. Высота $AA'$ пересекает ее в точках $P, Q$
Доказать, что эти точки $M, N, P, Q$ лежат на одной окружности.

#905

(Оффтоп)

$A_3H\cdot A_2H=BH\cdot HB_1=C_3H\cdot C_2H$

[scwec]

Задача 4 сводится к следующей: найти минимальный периметр для треугольников $(q^2,qp,p^2-q^2)$ если $p,q$ натуральные взаимно простые числа и $\sqrt{3}{q}<p<2q$.
Ответ: $p=7,q=4$, минимальный периметр треугольника равен $77$.

[fred1996]

scwec в сообщении #1273654 писал(а):

Задача 4 сводится к следующей: найти минимальный периметр для треугольников $(q^2,qp,p^2-q^2)$ если $p,q$ натуральные взаимно простые числа и $\sqrt{3}{q}<p<2q$.
Ответ: $p=7,q=4$, минимальный периметр треугольника равен $77$.

Браво!

[fred1996]

Задача 5

Задан произвольный треугольник $ABC$ и на его стороне $AB$ произвольная точка $D$
Проводим отрезок $CD$ и строим две вписанные опружности. Проводим вторую касательную к этим окружностям, которая пересекает отрезок $CD$ в точке $E$. Какую кривую описывает эта точка при перемещении точки $D$ по $AB$?

[wrest]

(Ответ, без решения)

fred1996
Окружность радиусом $CE$
В предельных положениях одна из вписанных окружностей начинает совпадать с вписанной в исходный треугольник окружностью, отсюда можно вычислить $CE$