Дробно-линейная функция

[StaticZero]

Тут написано, что дробно-линейная функция задаётся однозначно тремя прообразами $z_1, z_2, z_3$ и тремя образами $w_1, w_2, w_3$. Хочу отобразить круг радиуса $a$ на единичный, чтобы $z_0$ оказалась в центре. Пишу двойное отношение

$$ \dfrac{w - w_1}{w - w_2} : \dfrac{w_3 - w_1}{w_3 - w_2} = \dfrac{z - z_1}{z - z_2} : \dfrac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2}. $$

Задаю правила преобразования $z_1: a \mapsto +1$, $z_2: -a \mapsto -1$, $z_3: z_0 \mapsto 0$. Требования о том, что образы и прообразы разные, выполнено. Дробно-линейная функция имеет вид

$$ w = a \dfrac{z - z_0}{a^2 - z z_0}. $$

Однако, точку $ia$ она отображает в точку $w(ia) = a \dfrac{ia - z_0}{a^2 - i a z_0} = \dfrac{ia - z_0}{a - i z_0} = i \dfrac{a + iz_0}{a - iz_0}$. Спрашивается: а что такого я сделал незаконного, что по трём точкам круга $|z| = a$ я получаю функцию, которая этот круг отображает непонятно во что?

-- 09.12.2017, 00:45 --

Про принцип симметрии касательно образов-прообразов окружности я в учебнике прочёл, но я не хочу его использовать. В лоб по трём точкам не построить отображение круга на круг что ли?

[amon]

Если центры совпадают, то всё тривиально, так ведь? А если не совпадают, то кто мешает передвинуть так, что бы совпадали? ;)

[StaticZero]

amon, а кого сдвинуть? Если сдвигать $w$, то только на величину, пропорциональную $z - z_0$. Но я пока не понимаю, на какую.

[amon]

Подсказка №1. Если центры обеих окружностей в нуле, то преобразование $w=z/a$ производит необходимое.

[StaticZero]

amon, я тупой, я опять не понял. $w(z_0) = \dfrac{z_0}{a} \ne 0$

[amon]

При таком преобразовании окружность переходит в окружность, $z_0=0\to0,\; ia\to i,\;-ia\to-i$

[StaticZero]

Ну ок, исходная окружность сожмётся в единичную, точка $z_0 \mapsto z_0/a$. Я всё ещё ничего не понимаю. Простые сдвиги здесь бесполезны.

-- 09.12.2017, 02:23 --

StaticZero в сообщении #1273346 писал(а):

$$ w = a \dfrac{z - z_0}{a^2 - z z_0}. $$

Вот это ещё перейдёт в $w = \dfrac{\zeta - \zeta_0}{1 - \zeta \zeta_0}$. Лажа-то с границей круга останется.

[svv]

StaticZero в сообщении #1273346 писал(а):

Спрашивается: а что такого я сделал незаконного, что по трём точкам круга $|z| = a$ я получаю функцию, которая этот круг отображает непонятно во что?

Забудем на время про условие $w(z_0)=0$ и потребуем вместо этого:
$w(a)=1, w(-a)=-1, w(ia)=i$
Понятно без вычислений, что этим условиям удовлетворяет функция $w=\frac 1 a z=\frac{1z+0}{0z+a}$, и из дробно-линейных — только она. Теперь скажите: по какой причине при этом должно быть ещё и $w(z_0)=0$, где $z_0$ — почти произвольная точка?

Ясно, что функция $w=\frac 1 a z$ этого никогда не обеспечит (не считая случая $z_0=0$), то есть условия, которые Вы ставите, в общем случае несовместны.

Можно также спросить: почему Вы думаете, что при Ваших условиях прообразом единичной окружности является именно $|z|=a$? Того, что $z_1=a$ и $z_2=-a$, при том, что $z_0$ произвольна, для этого недостаточно.

[StaticZero]

Преобразование исходного круга на нужный - дробно-линейное. По трём точкам оно строится однозначно.

[svv]

Ну, хорошо, пусть $a=1$, $z_0=45+18i$. Что здесь будет исходным кругом и почему?

[StaticZero]

svv, точка $z_0$ не внутри...

[svv]

Не внутри окружности $|z|=a=1$, про которую Вы думаете.
Зато существует такая окружность (про которую думаю я), проходящая через $z_1=1$ и $z_2=-1$, что $z_0=45+18i$ будет внутри неё.
Чем моя хуже?

[StaticZero]

svv, пример понял. Что делать - не понял.

-- 09.12.2017, 03:13 --

Нужно потребовать, наверное, чтобы $|w(z)| = 1$.

[amon]

У-у, как всё запущено... Что за молодёжь пошла.. Помню, пирамиду строили, так я там в назидание высек.. Не помогло. О чём бишь я? Да.
Подсказка №2. Что делает с окружностью в частности, и с плоскостью вообще преобразование $w=z-z_0?$ А $w=az-z_0?$ Заодно,
Подсказка №3. Дробно-линейное преобразование, вообще-то, имеет вид $\frac{az+b}{cz+d}.$ Подставляете свои числа и находите $a,b,c,d.$

[Metford]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1273383 писал(а):

Помню, пирамиду строили, так я там в назидание высек.. Не помогло.

Просто боюсь спрашивать, кого высекли...
А серьёзно, сейчас с конформными отображениями вообще дела плохо обстоят. Среди студентов-физиков точно.