Доказательство равенства (теория множеств)

[gogoshik]

Помогите, плиз, разобраться с доказательством. Я не понимаю, что не так делаю.

Нужно доказать равенство: $\mathbf{C}(A \setminus B)= \mathbf{C} A \cup B$, где $\mathbf{C}$ -- операция дополнения.
Пусть $ x \in \mathbf{C}(A \setminus B)$. Тогда $ x \in X \setminus (A \setminus B) \Rightarrow x \in X \wedge x \notin (A \setminus B) \Rightarrow x \in X \wedge x \notin A \wedge x \in B$. Но это никак не приводит нас к правой части равенства, так как правая часть очевидно: $(x \in X \wedge x \notin A) \vee x \in B$.

[teleglaz]

$x \notin (A \setminus B) \not\Rightarrow x \notin A \wedge x \in B$

[gogoshik]

Может быть так?
$x \notin (A \setminus B) \Rightarrow x \in B \vee (x \in A \wedge x \in B)$.

[Mikhail_K]

gogoshik, а давайте не гадать. Напишите подробно, откуда Вы это получили.

[Someone]

teleglaz в сообщении #1272876 писал(а):

$x \notin (A \setminus B) \not\Rightarrow x \notin A \wedge x \in B$

gogoshik в сообщении #1272904 писал(а):

$x \notin (A \setminus B) \Rightarrow x \in B \vee (x \in A \wedge x \in B)$

Не первое и не второе.

[gogoshik]

Как я представляю, из того что $x \notin (A \setminus B) $ уж точно следует, что $x \in B$ или $x \in X \setminus (A \cup B)$. Другое сказать затрудняюсь.

[arseniiv]

Тут же проще эквивалентностями, а не туда и сюда. Как вам должно быть известно,

(1) $x\in X\cup Y\Leftrightarrow x\in X\vee x\in Y$;
(2) $x\in X\setminus Y\Leftrightarrow x\in X\wedge x\notin Y$;
(3) $x\in\mathbf CX\Leftrightarrow x\notin X$* —

остаётся только подставлять одно в другое и преобразовывать в рамках чистейшей логики.

* Раз в ходу универсальное множество, можно считать, что $x$, как элемент любого рассматриваемого множества, принадлежит ему, и не упоминать это множество почём зря.

[gogoshik]

$x \in \mathbf C(A \setminus B)\Leftrightarrow x \notin (A \setminus B) \Leftrightarrow x\in B \vee x\notin A \Leftrightarrow x\in \mathbf CA \cup B$, если можно сразу записать $x \notin (A \setminus B) \Leftrightarrow x\in B \vee x\notin A$. Как я понимаю, из $x \notin (A \setminus B)$ как минимум следует $x\in B$, а добавление к этому чего-либо не нарушает справедливость. Или нужно более подробно расписывать эквивалентность?

[arseniiv]

Вот теперь у вас всё в принципе хорошо расписано.

gogoshik в сообщении #1273133 писал(а):

если можно сразу записать $x \notin (A \setminus B) \Leftrightarrow x\in B \vee x\notin A$

Можно, если не боитесь ошибиться с протаскиванием отрицания. В этот раз всё нормально, например.

[vpb]

Хочу высказаться еще раз вот по такой теме, хоть со мной наверное большинство участвовавших в обсуждении и не согласятся. Я думаю, что для решения задач по элементарной теории множеств лучше пользоваться естественным языком, а не символами из матлогики $\vee$, $\wedge$, $\Rightarrow$. Оно как-то гораздо органичнее.

Вот например. В прошлой теме надо было доказать эквивалентность утверждений $A\subset B$ и $A\cap B=A$. На естественном языке можно было написать так.
"Допустим, $A\subset B$. Тогда любой элемент из $A$ лежит в $B$, а потому он лежит в обоих $A$ и $B$, т.е. лежит в пересечении $A\cap B$. С другой стороны, любой элемент из $A\cap B$ лежит в $A$. Значит, множества $A$ и $A\cap B$ состоят из одних и тех же элементов, т.е. $A=A\cap B$. Обратно, допустим, что $A=A\cap B$. Поскольку для любых множеств $X$ и $Y$ пересечение $X\cap Y$ --- подмножество в $Y$, то ввиду равенства $A=A\cap B$ получаем, что $A=A\cap B\subset B$. Итак, соотношения $A\subset B$ и $A=A\cap B$ эквивалентны."
Мне кажется, так гораздо яснее и проще.

Если открыть любую книгу или статью, можно увидеть, что математики пользуются не матлогикой и символами из нее, а обыкновенной логикой и обыкновенным языком. А писать все символами --- это только самому себе мешать думать, а читателю понимать. gogoshik, попробуйте рассуждать (и главное, думать!) обычным образом --- и сразу многое прояснится. Вы увидите, что все эти задачи очень просты, практически тривиальны.
Такое, в общем, у меня мнение...

[gogoshik]

arseniiv, спасибо! А как определить в каком случае проще доказательство эквивалентностями, а в каком "туда и сюда"?

vpb, когда я (и любой человек) думает над решением задачи, используется естественный язык (естественная логика, эвристика) или не так? Вот записывать все буквами мне порой лень и тут в помощь символы матлогики, например. Вот Вы тоже не обошлись без символов теории множеств, когда писали тезис. А то получается очень много букффф.

[Otta]

vpb в сообщении #1273164 писал(а):

Хочу высказаться еще раз вот по такой теме, хоть со мной наверное большинство участвовавших в обсуждении и не согласятся. Я думаю, что для решения задач по элементарной теории множеств лучше пользоваться естественным языком, а не символами из матлогики $\vee$, $\wedge$, $\Rightarrow$. Оно как-то гораздо органичнее.

Я соглашусь, я тоже так всегда эти штуки доказываю. Гораздо прозрачнее, имхо.

gogoshik в сообщении #1273173 писал(а):

А то получается очень много букффф.

gogoshik, так ведь наше дело предложить...

[kernel1983]

vpb в сообщении #1273164 писал(а):

а потому он лежит в обоих $A$ и $B$,

А Вы попробуйте это объяснить без классической логики.

vpb в сообщении #1273164 писал(а):

обыкновенной логикой

А матлогика разве какая-то необыкновенная?

[arseniiv]

vpb в сообщении #1273164 писал(а):

А писать все символами --- это только самому себе мешать думать, а читателю понимать.

А кто говорит, что надо все доказательства так писать? Некоторые же совершенно прозрачны в виде цепочки равенств или эквивалентностей, и вообще довольно мелкие, чтобы что-то особенное из них раздувать, мне кажется.

gogoshik в сообщении #1273173 писал(а):

А как определить в каком случае проще доказательство эквивалентностями, а в каком "туда и сюда"?

Не уверен, что в общем случае есть ответ.