2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение07.12.2017, 15:50 


11/12/16
160
Помогите, плиз, разобраться с доказательством. Я не понимаю, что не так делаю.

Нужно доказать равенство: $\mathbf{C}(A \setminus B)= \mathbf{C} A \cup B$, где $\mathbf{C}$ -- операция дополнения.
Пусть $ x \in \mathbf{C}(A \setminus B)$. Тогда $ x \in X  \setminus (A \setminus B) \Rightarrow x \in X \wedge x \notin (A \setminus B) \Rightarrow x \in X \wedge x \notin A \wedge x \in B$. Но это никак не приводит нас к правой части равенства, так как правая часть очевидно: $(x \in X \wedge x \notin A) \vee x \in B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение07.12.2017, 16:20 


16/08/17
51
$x \notin (A \setminus B) \not\Rightarrow x \notin A \wedge x \in B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение07.12.2017, 18:28 


11/12/16
160
Может быть так?
$x \notin (A \setminus B) \Rightarrow x \in B \vee (x \in A \wedge x \in B)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение07.12.2017, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2650
gogoshik, а давайте не гадать. Напишите подробно, откуда Вы это получили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение07.12.2017, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15156
Новомосковск
teleglaz в сообщении #1272876 писал(а):
$x \notin (A \setminus B) \not\Rightarrow x \notin A \wedge x \in B$
gogoshik в сообщении #1272904 писал(а):
$x \notin (A \setminus B) \Rightarrow x \in B \vee (x \in A \wedge x \in B)$
Не первое и не второе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 00:03 


11/12/16
160
Как я представляю, из того что $x \notin (A \setminus B) $ уж точно следует, что $x \in B$ или $x \in X \setminus (A \cup B)$. Другое сказать затрудняюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21619
Уфа
Тут же проще эквивалентностями, а не туда и сюда. Как вам должно быть известно,

(1) $x\in X\cup Y\Leftrightarrow x\in X\vee x\in Y$;
(2) $x\in X\setminus Y\Leftrightarrow x\in X\wedge x\notin Y$;
(3) $x\in\mathbf CX\Leftrightarrow x\notin X$* —

остаётся только подставлять одно в другое и преобразовывать в рамках чистейшей логики.

* Раз в ходу универсальное множество, можно считать, что $x$, как элемент любого рассматриваемого множества, принадлежит ему, и не упоминать это множество почём зря.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 14:30 


11/12/16
160
$x \in \mathbf C(A \setminus B)\Leftrightarrow x \notin (A \setminus B) \Leftrightarrow x\in B \vee x\notin A \Leftrightarrow  x\in \mathbf CA \cup B$, если можно сразу записать $x \notin (A \setminus B) \Leftrightarrow x\in B \vee x\notin A$. Как я понимаю, из $x \notin (A \setminus B)$ как минимум следует $x\in B$, а добавление к этому чего-либо не нарушает справедливость. Или нужно более подробно расписывать эквивалентность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21619
Уфа
Вот теперь у вас всё в принципе хорошо расписано.

gogoshik в сообщении #1273133 писал(а):
если можно сразу записать $x \notin (A \setminus B) \Leftrightarrow x\in B \vee x\notin A$
Можно, если не боитесь ошибиться с протаскиванием отрицания. В этот раз всё нормально, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 16:08 


18/01/15
221
Хочу высказаться еще раз вот по такой теме, хоть со мной наверное большинство участвовавших в обсуждении и не согласятся. Я думаю, что для решения задач по элементарной теории множеств лучше пользоваться естественным языком, а не символами из матлогики $\vee$, $\wedge$, $\Rightarrow$. Оно как-то гораздо органичнее.

Вот например. В прошлой теме надо было доказать эквивалентность утверждений $A\subset B$ и $A\cap B=A$. На естественном языке можно было написать так.
"Допустим, $A\subset B$. Тогда любой элемент из $A$ лежит в $B$, а потому он лежит в обоих $A$ и $B$, т.е. лежит в пересечении $A\cap B$. С другой стороны, любой элемент из $A\cap B$ лежит в $A$. Значит, множества $A$ и $A\cap B$ состоят из одних и тех же элементов, т.е. $A=A\cap B$. Обратно, допустим, что $A=A\cap B$. Поскольку для любых множеств $X$ и $Y$ пересечение $X\cap Y$ --- подмножество в $Y$, то ввиду равенства $A=A\cap B$ получаем, что $A=A\cap B\subset B$. Итак, соотношения $A\subset B$ и $A=A\cap B$ эквивалентны."
Мне кажется, так гораздо яснее и проще.

Если открыть любую книгу или статью, можно увидеть, что математики пользуются не матлогикой и символами из нее, а обыкновенной логикой и обыкновенным языком. А писать все символами --- это только самому себе мешать думать, а читателю понимать. gogoshik, попробуйте рассуждать (и главное, думать!) обычным образом --- и сразу многое прояснится. Вы увидите, что все эти задачи очень просты, практически тривиальны.
Такое, в общем, у меня мнение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 16:23 


11/12/16
160
arseniiv, спасибо! А как определить в каком случае проще доказательство эквивалентностями, а в каком "туда и сюда"?

vpb, когда я (и любой человек) думает над решением задачи, используется естественный язык (естественная логика, эвристика) или не так? Вот записывать все буквами мне порой лень и тут в помощь символы матлогики, например. Вот Вы тоже не обошлись без символов теории множеств, когда писали тезис. А то получается очень много букффф.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
vpb в сообщении #1273164 писал(а):
Хочу высказаться еще раз вот по такой теме, хоть со мной наверное большинство участвовавших в обсуждении и не согласятся. Я думаю, что для решения задач по элементарной теории множеств лучше пользоваться естественным языком, а не символами из матлогики $\vee$, $\wedge$, $\Rightarrow$. Оно как-то гораздо органичнее.

Я соглашусь, я тоже так всегда эти штуки доказываю. Гораздо прозрачнее, имхо.
gogoshik в сообщении #1273173 писал(а):
А то получается очень много букффф.

gogoshik, так ведь наше дело предложить... :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 16:37 


10/11/15
96
vpb в сообщении #1273164 писал(а):
а потому он лежит в обоих $A$ и $B$,


А Вы попробуйте это объяснить без классической логики.

vpb в сообщении #1273164 писал(а):
обыкновенной логикой


А матлогика разве какая-то необыкновенная? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21619
Уфа
vpb в сообщении #1273164 писал(а):
А писать все символами --- это только самому себе мешать думать, а читателю понимать.
А кто говорит, что надо все доказательства так писать? Некоторые же совершенно прозрачны в виде цепочки равенств или эквивалентностей, и вообще довольно мелкие, чтобы что-то особенное из них раздувать, мне кажется.

gogoshik в сообщении #1273173 писал(а):
А как определить в каком случае проще доказательство эквивалентностями, а в каком "туда и сюда"?
Не уверен, что в общем случае есть ответ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group