2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение07.12.2017, 15:50 


11/12/16
189
Помогите, плиз, разобраться с доказательством. Я не понимаю, что не так делаю.

Нужно доказать равенство: $\mathbf{C}(A \setminus B)= \mathbf{C} A \cup B$, где $\mathbf{C}$ -- операция дополнения.
Пусть $ x \in \mathbf{C}(A \setminus B)$. Тогда $ x \in X  \setminus (A \setminus B) \Rightarrow x \in X \wedge x \notin (A \setminus B) \Rightarrow x \in X \wedge x \notin A \wedge x \in B$. Но это никак не приводит нас к правой части равенства, так как правая часть очевидно: $(x \in X \wedge x \notin A) \vee x \in B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение07.12.2017, 16:20 


16/08/17
57
$x \notin (A \setminus B) \not\Rightarrow x \notin A \wedge x \in B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение07.12.2017, 18:28 


11/12/16
189
Может быть так?
$x \notin (A \setminus B) \Rightarrow x \in B \vee (x \in A \wedge x \in B)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение07.12.2017, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2932
gogoshik, а давайте не гадать. Напишите подробно, откуда Вы это получили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение07.12.2017, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15779
Новомосковск
teleglaz в сообщении #1272876 писал(а):
$x \notin (A \setminus B) \not\Rightarrow x \notin A \wedge x \in B$
gogoshik в сообщении #1272904 писал(а):
$x \notin (A \setminus B) \Rightarrow x \in B \vee (x \in A \wedge x \in B)$
Не первое и не второе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 00:03 


11/12/16
189
Как я представляю, из того что $x \notin (A \setminus B) $ уж точно следует, что $x \in B$ или $x \in X \setminus (A \cup B)$. Другое сказать затрудняюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Тут же проще эквивалентностями, а не туда и сюда. Как вам должно быть известно,

(1) $x\in X\cup Y\Leftrightarrow x\in X\vee x\in Y$;
(2) $x\in X\setminus Y\Leftrightarrow x\in X\wedge x\notin Y$;
(3) $x\in\mathbf CX\Leftrightarrow x\notin X$* —

остаётся только подставлять одно в другое и преобразовывать в рамках чистейшей логики.

* Раз в ходу универсальное множество, можно считать, что $x$, как элемент любого рассматриваемого множества, принадлежит ему, и не упоминать это множество почём зря.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 14:30 


11/12/16
189
$x \in \mathbf C(A \setminus B)\Leftrightarrow x \notin (A \setminus B) \Leftrightarrow x\in B \vee x\notin A \Leftrightarrow  x\in \mathbf CA \cup B$, если можно сразу записать $x \notin (A \setminus B) \Leftrightarrow x\in B \vee x\notin A$. Как я понимаю, из $x \notin (A \setminus B)$ как минимум следует $x\in B$, а добавление к этому чего-либо не нарушает справедливость. Или нужно более подробно расписывать эквивалентность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Вот теперь у вас всё в принципе хорошо расписано.

gogoshik в сообщении #1273133 писал(а):
если можно сразу записать $x \notin (A \setminus B) \Leftrightarrow x\in B \vee x\notin A$
Можно, если не боитесь ошибиться с протаскиванием отрицания. В этот раз всё нормально, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 16:08 
Заслуженный участник


18/01/15
615
Хочу высказаться еще раз вот по такой теме, хоть со мной наверное большинство участвовавших в обсуждении и не согласятся. Я думаю, что для решения задач по элементарной теории множеств лучше пользоваться естественным языком, а не символами из матлогики $\vee$, $\wedge$, $\Rightarrow$. Оно как-то гораздо органичнее.

Вот например. В прошлой теме надо было доказать эквивалентность утверждений $A\subset B$ и $A\cap B=A$. На естественном языке можно было написать так.
"Допустим, $A\subset B$. Тогда любой элемент из $A$ лежит в $B$, а потому он лежит в обоих $A$ и $B$, т.е. лежит в пересечении $A\cap B$. С другой стороны, любой элемент из $A\cap B$ лежит в $A$. Значит, множества $A$ и $A\cap B$ состоят из одних и тех же элементов, т.е. $A=A\cap B$. Обратно, допустим, что $A=A\cap B$. Поскольку для любых множеств $X$ и $Y$ пересечение $X\cap Y$ --- подмножество в $Y$, то ввиду равенства $A=A\cap B$ получаем, что $A=A\cap B\subset B$. Итак, соотношения $A\subset B$ и $A=A\cap B$ эквивалентны."
Мне кажется, так гораздо яснее и проще.

Если открыть любую книгу или статью, можно увидеть, что математики пользуются не матлогикой и символами из нее, а обыкновенной логикой и обыкновенным языком. А писать все символами --- это только самому себе мешать думать, а читателю понимать. gogoshik, попробуйте рассуждать (и главное, думать!) обычным образом --- и сразу многое прояснится. Вы увидите, что все эти задачи очень просты, практически тривиальны.
Такое, в общем, у меня мнение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 16:23 


11/12/16
189
arseniiv, спасибо! А как определить в каком случае проще доказательство эквивалентностями, а в каком "туда и сюда"?

vpb, когда я (и любой человек) думает над решением задачи, используется естественный язык (естественная логика, эвристика) или не так? Вот записывать все буквами мне порой лень и тут в помощь символы матлогики, например. Вот Вы тоже не обошлись без символов теории множеств, когда писали тезис. А то получается очень много букффф.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6740
vpb в сообщении #1273164 писал(а):
Хочу высказаться еще раз вот по такой теме, хоть со мной наверное большинство участвовавших в обсуждении и не согласятся. Я думаю, что для решения задач по элементарной теории множеств лучше пользоваться естественным языком, а не символами из матлогики $\vee$, $\wedge$, $\Rightarrow$. Оно как-то гораздо органичнее.

Я соглашусь, я тоже так всегда эти штуки доказываю. Гораздо прозрачнее, имхо.
gogoshik в сообщении #1273173 писал(а):
А то получается очень много букффф.

gogoshik, так ведь наше дело предложить... :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 16:37 


10/11/15
103
vpb в сообщении #1273164 писал(а):
а потому он лежит в обоих $A$ и $B$,


А Вы попробуйте это объяснить без классической логики.

vpb в сообщении #1273164 писал(а):
обыкновенной логикой


А матлогика разве какая-то необыкновенная? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенства (теория множеств)
Сообщение08.12.2017, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
vpb в сообщении #1273164 писал(а):
А писать все символами --- это только самому себе мешать думать, а читателю понимать.
А кто говорит, что надо все доказательства так писать? Некоторые же совершенно прозрачны в виде цепочки равенств или эквивалентностей, и вообще довольно мелкие, чтобы что-то особенное из них раздувать, мне кажется.

gogoshik в сообщении #1273173 писал(а):
А как определить в каком случае проще доказательство эквивалентностями, а в каком "туда и сюда"?
Не уверен, что в общем случае есть ответ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vpb


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group