Вторая теорема Минковского - примеры

[fractalon]

В формулировке второй теоремы Минковского, если я правильно всё понимаю, фигурирует такая конструкция: дана решётка в ${\mathbb R}^d$ и выпуклое симметричное тело, мы это тело непрерывно увеличиваем в размерах пока оно не натыкается на точки решётки и потом обозначаем как $v_1, \dots, v_d$ те точки решётки, натыкаясь на которые при увеличении тело увеличивает размерность подрешётки, на которую уже наткнулось. Это всё понятно, но потом в теореме рассматривается решётка, образуемая векторами $v_1, \dots, v_d$ как базисом, и предполагается, что она может не совпадать с исходной, и даже суть теоремы заключается в ограничении этого несовпадения.
Проблема в том, что я не могу придумать даже хотя бы одного примера, когда бы эта решётка просто не совпадало с исходным.

Я стал искать пример, стало понятно, что если пример вообще существует, то должен существовать и для решётки ${\mathbb Z}^d$ (так как "растягивания" решётки сохраняют симметрию и выпуклость). Значит, нужно найти такое множество $A \subset {\mathbb R}^d$, что $\lambda A$ при непрерывном увеличении $\lambda$ наткнётся на $d$ линейно-независимых целочисленных векторов прежде, чем наткнётся на $\left\lbrace{x \in {\mathbb Z}^d : x_i = 1}\right\rbrace$ для какого-то $i$ (и прежде, чем наткнётся на несколько взаимопростых значений $x_i$)
Кажеться, что для двумерного пространства это невозможно, поэтому я пробовал искать для ${\mathbb R}^3$
Первое, что пришло в голову - это связать прямоугольником точки (-1;2;1), (1;2;1), (-1;-2;-1), (1;-2;-1) - это то, чего нельзя сделать в ${\mathbb R}^2$, но оно всё равно двумерно. Пробовал искривлять паралеллограм и по третьей плоскости, строить на (1;2;1), (1;4;1), но так он цепляет (1;3;1), что ведёт всё равно к полноте решётки по второй координате.

В общем, если кто-то знает нетривиальный пример, подскажите, пожалуйста. А то доказательство теоремы превращается в кучу символов без какой-либо мотивации.