2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство
Сообщение08.12.2017, 05:57 
Аватара пользователя


21/06/08
474
Томск
Дано $x, y, z \geq 0$. Доказать, что $x^3(y^2+z^2)^2+y^3(z^2+x^2)^2+z^3(x^2+y^2)^2 \geq xyz \left( xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2 \right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение08.12.2017, 09:26 
Заслуженный участник


26/06/07
1813
Ironi dalet school, tel-aviv
Пусть $x\geq y\geq z$.
Тогда
$$x^3(y^2+z^2)^2+y^3(z^2+x^2)^2+z^3(x^2+y^2)^2 -xyz \left( xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2 \right)=$$
$$=\sum_{cyc}(x^4y^3+x^4z^3-x^4y^2z-x^4z^2y-2x^3y^3z+2x^3y^2z^2)=$$
$$=\sum_{cyc}(z^4x^3+z^4y^3-z^4x^2y-z^4y^2x-z^3x^3y-z^3y^3x+2z^3x^2y^2)=$$
$$=\sum_{cyc}(z^4(x+y)(x-y)^2-z^3xy(x-y)^2)=\sum_{cyc}z^3(x-y)^2(xz+yz-xy)\geq$$
$$\geq z^3(x-y)^2(xz+yz-xy)+y^3(x-z)^2(xy+yz-xz)\geq $$
$$\geq z^3(x-y)^2(xz-xy)+y^3(x-y)^2(xy-xz)=(x-y)^2x(y-z)(y^3-z^3)\geq0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение01.02.2018, 12:52 


03/03/12
1030
daogiauvang в сообщении #1273040 писал(а):
Дано $x, y, z \geq 0$. Доказать, что $x^3(y^2+z^2)^2+y^3(z^2+x^2)^2+z^3(x^2+y^2)^2 \geq xyz \left( xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2 \right)$


$x\ge y\ge z$

$y=k_1x$

$z=k_2x$

$1\ge k_1\ge k_2$

$k_1=k_2+a$, $0\le a\le1$

$\{(k_2^3-k_2^2-k_2+1)a^4\}+\{(5k_2^4-6k_2^3-2k_2^2+2k_2+1)a^3\}+\{(9k_2^5-13k_2^4+2k_2^3+2k_2^2+2k_2)a^2+(7k_2^6-12k_2^5+5k_2^4)a+(2k_2^7-4k_2^6+2k_2^5)\}\ge0$

Т.к. все фигурные скобки неотрицательны (в последней не положителен дискриминант), то неравенство верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group