2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство
Сообщение08.12.2017, 05:57 
Аватара пользователя


21/06/08
472
Томск
Дано $x, y, z \geq 0$. Доказать, что $x^3(y^2+z^2)^2+y^3(z^2+x^2)^2+z^3(x^2+y^2)^2 \geq xyz \left( xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2 \right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение08.12.2017, 09:26 
Заслуженный участник


26/06/07
1789
shevah school, tel-aviv
Пусть $x\geq y\geq z$.
Тогда
$$x^3(y^2+z^2)^2+y^3(z^2+x^2)^2+z^3(x^2+y^2)^2 -xyz \left( xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2 \right)=$$
$$=\sum_{cyc}(x^4y^3+x^4z^3-x^4y^2z-x^4z^2y-2x^3y^3z+2x^3y^2z^2)=$$
$$=\sum_{cyc}(z^4x^3+z^4y^3-z^4x^2y-z^4y^2x-z^3x^3y-z^3y^3x+2z^3x^2y^2)=$$
$$=\sum_{cyc}(z^4(x+y)(x-y)^2-z^3xy(x-y)^2)=\sum_{cyc}z^3(x-y)^2(xz+yz-xy)\geq$$
$$\geq z^3(x-y)^2(xz+yz-xy)+y^3(x-z)^2(xy+yz-xz)\geq $$
$$\geq z^3(x-y)^2(xz-xy)+y^3(x-y)^2(xy-xz)=(x-y)^2x(y-z)(y^3-z^3)\geq0.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group