Неравенство

[daogiauvang]

Дано $x, y, z \geq 0$. Доказать, что $x^3(y^2+z^2)^2+y^3(z^2+x^2)^2+z^3(x^2+y^2)^2 \geq xyz \left( xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2 \right)$.

[arqady]

Пусть $x\geq y\geq z$.
Тогда

$$x^3(y^2+z^2)^2+y^3(z^2+x^2)^2+z^3(x^2+y^2)^2 -xyz \left( xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2 \right)=$$

$$=\sum_{cyc}(x^4y^3+x^4z^3-x^4y^2z-x^4z^2y-2x^3y^3z+2x^3y^2z^2)=$$

$$=\sum_{cyc}(z^4x^3+z^4y^3-z^4x^2y-z^4y^2x-z^3x^3y-z^3y^3x+2z^3x^2y^2)=$$

$$=\sum_{cyc}(z^4(x+y)(x-y)^2-z^3xy(x-y)^2)=\sum_{cyc}z^3(x-y)^2(xz+yz-xy)\geq$$

$$\geq z^3(x-y)^2(xz+yz-xy)+y^3(x-z)^2(xy+yz-xz)\geq $$

$$\geq z^3(x-y)^2(xz-xy)+y^3(x-y)^2(xy-xz)=(x-y)^2x(y-z)(y^3-z^3)\geq0.$$

[TR63]

daogiauvang в сообщении #1273040 писал(а):

Дано $x, y, z \geq 0$. Доказать, что $x^3(y^2+z^2)^2+y^3(z^2+x^2)^2+z^3(x^2+y^2)^2 \geq xyz \left( xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2 \right)$

$x\ge y\ge z$

$y=k_1x$

$z=k_2x$

$1\ge k_1\ge k_2$

$k_1=k_2+a$, $0\le a\le1$

$\{(k_2^3-k_2^2-k_2+1)a^4\}+\{(5k_2^4-6k_2^3-2k_2^2+2k_2+1)a^3\}+\{(9k_2^5-13k_2^4+2k_2^3+2k_2^2+2k_2)a^2+(7k_2^6-12k_2^5+5k_2^4)a+(2k_2^7-4k_2^6+2k_2^5)\}\ge0$

Т.к. все фигурные скобки неотрицательны (в последней не положителен дискриминант), то неравенство верно.