Неравенство 17.

[TR63]

Для положительных $(a,b,c)$ докажите неравенство:

$$4(a^6+b^6+c^6)+5abc(a^3+b^3+c^3)\ge(2a^2+bc)(2b^2+ac)(2c^2+ab)+4(b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3)-12(abc)^2$$

Это неравенство является усилением одного здешнего неравенства по моей спецтехнологии. И, хотя оно на вид страшненькое, доказывается не сложнее, если не проще, не усиленного (практически не более трёх действий; почти элегантно).

[arqady]

Это

$$4\sum_{cyc}(a^6-a^4b^2-a^4c^2+a^2b^2c^2)+4\sum_{cyc}(a^4b^2+a^4c^2-2a^3b^3)+3abc\sum_{cyc}(a^3-abc)\geq0.$$

[TR63]

Источником этого неравенства является неравенство из http://dxdy.ru/topic110496.html

arqady, не поняла, Вы уже доказательство привели? Я с этими "сус" не дружу (плохо в них ориентируюсь). У меня другое доказательство (в лоб всё хорошо получается). Интересно, в источнике замысловатые, на мой взгляд, доказательства (даже для только положительных переменных).

[TR63]

Моё решение:

$$4a^6+3bca^4-4(b^3+c^3)a^3-9b^2c^2a^2+3(b^4c+bc^4)a+4(b^6+c^6)-4b^3c^3\ge0$$

$a=\max(a,b,c)$

$abc=1$

$b=k_1a$

$c=k_2a$

$k_1k_2=x\le1$

$k_1^3+k_2^3=y\le2$

$x\le\sqrt[3]{\frac{y^2}{4}}$

$12x^3+9x^2-(3+3y)x-4(y^2-y+1)\le0$

Сделаем усиление:

$9x^2-(3+3y)x-(y^2-4y+4)\le0$

$t=y-2$

$t^2+3xt+9x-9x^2\ge0$

Остаётся решить квадратное неравенство. Оно верно. Значит и исходное неравенство верно.

Остаётся решить вопрос о том, будет ли исходное неравенство усиленным по отношению к источнику в рассматриваемой области определения. (Я специально сузила область определения, т.к. предусматривается дальнейшее обобщение). Да, оно будет усиленным. И даже более того (я где-то видела подобное, но и сама могу доказать методом "в лоб").

Если замечаний по решению исходного неравенства не будет, то продолжу.

[Cap]

TR63 в сообщении #1272869 писал(а):

Источником этого неравенства является неравенство из http://dxdy.ru/topic110496.html

arqady, не поняла, Вы уже доказательство привели? Я с этими "сус" не дружу (плохо в них ориентируюсь). У меня другое доказательство (в лоб всё хорошо получается). Интересно, в источнике замысловатые, на мой взгляд, доказательства (даже для только положительных переменных).

Так это и не "сус", а SOS!

[Cap]

Цитата:

Здесь мы говорим о разном (мне не нравится именно "сус" как запись).

А о чём вы говорили?

[Pphantom]

Последовавший оффтопик отделен в «О пользе неравенств»