Уравнение

[arqady]

Решите следующее уравнение.

$$\sqrt{2x^2+2y^2+5}+\sqrt{x^2+y^2+3x+4}+\sqrt{x^2+y^2+y}=\sqrt{7(2x^2+2y^2+x+y+3)}.$$

[gris]

$(1,-1)$ заметил и хватит с меня.

[arqady]

Это я специально сделал, что-б Вы это заметили. Есть ещё!

[gris]

Если посмотреть с точки зрения поверхностей, правая часть симметричная, хорошая и явно "выше" левой при достаточном удалении даже и от нуля. Поэтому других целых решений даже устно не видно и нету их. Но если посмотреть пристально на левую часть, то там даже и дырки есть и помятости. И может существовать и ещё касание, и даже пересечение петелькой.
Но это надо как-то анализировать.
Не, ну если рассуждать безпакетно, то можно предположить второе касание. Тогда оно должно быть в рациональной точке, когда все радикалы хорошо извлекаются(???). Например $(25/58,19/58)$. Но как это получить рассуждением не знаю

[arqady]

gris Думаю, я могу придумать уравнение, что никакой пакет не поможет, но оно будет некрасивым. Моя идея в том, что как по бросающемуся в глаза решению $(1,-1)$ найти все остальные. Имеется красивое рассуждение, позволяющее это сделать. Вся задача, собственно, найти это рассуждение.

[Edward_Tur]

Неравенство о средних дает:

$$\frac13\sqrt{2x^2+2y^2+5}+\frac13\sqrt{2x^2+2y^2+5}+\frac13\sqrt{2x^2+2y^2+5}+$$

$$+\frac13\sqrt{x^2+y^2+3x+4}+\frac13\sqrt{x^2+y^2+3x+4}+\frac13\sqrt{x^2+y^2+3x+4}+$$

$$+\sqrt{x^2+y^2+y}\le\sqrt{7(2x^2+2y^2+x+y+3)}.$$

[arqady]

Не понимаю, как Вы им пользуютесь. Может, Вы применяете другое неравенство?

[Edward_Tur]

arqady в сообщении #1272725 писал(а):

Не понимаю, как Вы им пользуютесь. Может, Вы применяете другое неравенство?

Неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим.

[arqady]

Да, точно! И решить лёгкую системку.
В моём решении я имел в виду C-S, но это в принципе одно и то же.