2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 18:54 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков

(Оффтоп)

PalmDesert
Хочется ещё пожаловаться на неудобство обозначений, используемых по традиции в этой области. Все векторные поля надо обозначать $X, Y, Z$, как будто нет других букв в латинском алфавите. И непременно заглавными.

Что в результате имеем в данной задаче? С помощью буквы $X$ обозначены, во-первых, выделенные поля $X_1, X_2$. Во-вторых, произвольное поле $X$, по которому берётся ковариантная производная. Автоматически коэффициенты разложения этого поля по базисным будут $X^1$ и $X^2$. И одна из координат тоже $x$.

Устраняем безобразие. Векторы (векторные поля) обозначаются маленькой полужирной буквой: $\mathbf u$, $\mathbf a$ и т.д. Базисные векторы $\mathbf e_i$ (можно использовать и другие буквы, если хочется). Компоненты вектора маленькой курсивной буквой: $u^i, a^k$ и т.д., так что $\mathbf u=\mathbf e_i u^i$. Координаты $x^i$ (отдельные координаты $x^1, x^2, x^3, ...$). Ковариантная производная $\nabla_\mathbf v$. Производная по направлению $\partial_\mathbf v$. Вместо $\nabla_{\mathbf e_i}, \partial_{\mathbf e_i}$ пишем сокращённо $\nabla_i, \partial_i$.

В итоге условие принимает вид:
Даны векторные поля $\mathbf e_1, \mathbf e_2$ такие-то. Положим $\nabla_\mathbf v \mathbf a=\mathbf e_i\partial_\mathbf v a^i$, если $\mathbf a = \mathbf e_i a^i$. Докажите, что ...
По-моему, это гораздо симпатичнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение05.12.2017, 23:30 


18/10/16
32
svv, полностью согласен с Вами! :)

-- 05.12.2017, 23:40 --

svv, есть у меня один настолько глупый вопрос из которого сразу видно моё полное непонимание в этой теме, но задать всё равно хочется, хотя и "опозорюсь". И вот же он: Как это всё дело можно визуализировать? :)
Допустим, я могу построить векторные поля такими, какими я их всегда себе представлял до этой задачи, то есть: $\mathbf u = u^1 \mathbf i + u ^ 2 \mathbf j + u^3 \mathbf k$, где $u^1, u^2, u^3$ - функции от $x,y,z$ - то есть обычное 3-х мерное поле в декартовом базисе. А как быть с моими полями $X_1, X_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение06.12.2017, 01:19 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
Это очень хороший вопрос.

Поля $X_1, X_2$ определялись через $\partial_x$ и $\partial_y$. Векторы $\partial_x$ и $\partial_y$ в каждой точке касательны к координатным линиям $x$ и $y$, проходящим через эту точку. Других координат в задаче не дано, так что многообразие, где заданы все эти поля, можно считать двумерным. Привычная евклидова плоскость тоже двумерна. А привычные единичные векторы $\mathbf i$ и $\mathbf j$ декартова базиса — это, с точки зрения дифгема, как раз $\partial_x$ и $\partial_y$.

Тогда что мешает просто изобразить поля $\partial_x, \partial_y, X_1, X_2$ из нашей задачи на плоскости?

На евклидовой плоскости (аналогично, в евклидовом пространстве) мы можем делать (помимо прочего) пару вещей:
1) совершать параллельный перенос векторов;
2) измерять расстояния между точками.
Это, в свою очередь, даёт уже много других возможностей. Например, перенося вектор параллельно самому себе, можно построить прямую. Умея измерять расстояния, можно определить понятие угла. И т.д. Всё это изучается в геометрии.

Но в дифференциальной геометрии изучаются также и такие ситуации, когда:
$\bullet$ нет возможности делать 1) и 2); или же можно делать 1), но нет средств сделать 2);
$\bullet$ либо средства сделать это имеются, но законы, которым подчиняется параллельный перенос и расстояния между точками, отличаются от привычных.

Всякий раз оговаривается, что мы делать можем, а что нет, и каким законам оно подчиняется. Например, в Вашей задаче описан параллельный перенос, но нет никакой возможности измерять расстояния между точками. Тем ценнее полученные результаты: ведь они не зависят от того, как определены расстояния, и определены ли вообще.

Поэтому будет не очень корректно изображать эти поля на евклидовой плоскости. В лучшем случае, появится излишняя конкретика. Когда Вы нарисуете поля на картинке, то на ней между точками будут какие-то конкретные расстояния, хотя наша задача может относиться к ситуации, где понятия «расстояние» нет вообще.

В худшем случае картинка на плоскости будет совершенно неадекватна законам, принятым для параллельного переноса и расстояний.

Как это можно визуализировать? Взгляните на картинки:
A:Изображение
B:Изображение
C:Изображение
В воображаемом мире, в котором не определён ни параллельный перенос, ни расстояния, невозможно отличить картинки A и B.
В воображаемом мире, в котором задан параллельный перенос, но нет расстояний, A и B отличить можно, но невозможно отличить картинки A и C.

Остаётся вопрос, имеют ли эти миры какое-то отношение к миру, в котором мы живём? Имеют, но это отдельный большой разговор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение06.12.2017, 12:30 


18/10/16
32
svv, спасибо большое за ответ! :)
а между символоми Кристоффеля и метричной матрицей нет соответствия? Просто мне подумалось, что они как-то биективно связаны на основании этой формулы: $\Gamma^i {}_{k\ell}=
\frac{1}{2}g^{im} 
\left(
\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} 
\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение06.12.2017, 13:15 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
Тут такая точка зрения: метрика сама по себе, а связность сама по себе. Но если они связаны вот этой формулой, тогда говорят: «метрика согласована со связностью».

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение06.12.2017, 13:15 


01/06/15
528
С.-Петербург
PalmDesert в сообщении #1272544 писал(а):
svv, спасибо большое за ответ! :)
а между символоми Кристоффеля и метричной матрицей нет соответствия? Просто мне подумалось, что они как-то биективно связаны на основании этой формулы: $\Gamma^i {}_{k\ell}=
\frac{1}{2}g^{im} 
\left(
\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} 
\right)$
Относительно $g$ это система диффуров в частных производных, так что в общем случае нет никакой биекции.

Соответствие, безусловно, есть. Символы Кристоффеля -- это компоненты аффинной связности. Формула имеет место только для связностей Леви-Чивиты и отражает тот факт, что это Римановы связности без кручения, т.е. метрический тензор ковариантно постоянен (${\displaystyle \nabla _{X}g=0}$ для любого векторного поля $X$ на многообразии) и тензор кручения равен 0: $$ \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,\;Y]=0$$ для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение06.12.2017, 16:43 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
Walker_XXI в сообщении #1272554 писал(а):
$$ \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,\;Y]=0$$
Интересно вычислить левую часть в нашей задаче и увидеть, что у нас связность с кручением (я это для себя сделал в самом начале). Так как коэффициенты разложения по базису $(X_1, X_2)$ самих полей $X_1, X_2$ постоянны, то $\nabla_{X_2}X_1=\nabla_{X_1}X_2=0$. Но $[X_1, X_2]=(x \partial_x +  \partial_y)(- \partial_x + x \partial_y)-(- \partial_x + x \partial_y)(x \partial_x +  \partial_y)\neq 0$. Поэтому и $T(X_1, X_2)\neq 0$.
Следовательно, мы не получим $\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}$ ни в каких координатах.
И с нашей связностью не будет согласована никакая метрика.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group