Параллельный перенос

[svv]

(Оффтоп)

PalmDesert
Хочется ещё пожаловаться на неудобство обозначений, используемых по традиции в этой области. Все векторные поля надо обозначать $X, Y, Z$, как будто нет других букв в латинском алфавите. И непременно заглавными.

Что в результате имеем в данной задаче? С помощью буквы $X$ обозначены, во-первых, выделенные поля $X_1, X_2$. Во-вторых, произвольное поле $X$, по которому берётся ковариантная производная. Автоматически коэффициенты разложения этого поля по базисным будут $X^1$ и $X^2$. И одна из координат тоже $x$.

Устраняем безобразие. Векторы (векторные поля) обозначаются маленькой полужирной буквой: $\mathbf u$, $\mathbf a$ и т.д. Базисные векторы $\mathbf e_i$ (можно использовать и другие буквы, если хочется). Компоненты вектора маленькой курсивной буквой: $u^i, a^k$ и т.д., так что $\mathbf u=\mathbf e_i u^i$. Координаты $x^i$ (отдельные координаты $x^1, x^2, x^3, ...$). Ковариантная производная $\nabla_\mathbf v$. Производная по направлению $\partial_\mathbf v$. Вместо $\nabla_{\mathbf e_i}, \partial_{\mathbf e_i}$ пишем сокращённо $\nabla_i, \partial_i$.

В итоге условие принимает вид:
Даны векторные поля $\mathbf e_1, \mathbf e_2$ такие-то. Положим $\nabla_\mathbf v \mathbf a=\mathbf e_i\partial_\mathbf v a^i$, если $\mathbf a = \mathbf e_i a^i$. Докажите, что ...
По-моему, это гораздо симпатичнее.

[PalmDesert]

svv, полностью согласен с Вами! :)

-- 05.12.2017, 23:40 --

svv, есть у меня один настолько глупый вопрос из которого сразу видно моё полное непонимание в этой теме, но задать всё равно хочется, хотя и "опозорюсь". И вот же он: Как это всё дело можно визуализировать? :)
Допустим, я могу построить векторные поля такими, какими я их всегда себе представлял до этой задачи, то есть: $\mathbf u = u^1 \mathbf i + u ^ 2 \mathbf j + u^3 \mathbf k$, где $u^1, u^2, u^3$ - функции от $x,y,z$ - то есть обычное 3-х мерное поле в декартовом базисе. А как быть с моими полями $X_1, X_2$?

[svv]

Это очень хороший вопрос.

Поля $X_1, X_2$ определялись через $\partial_x$ и $\partial_y$. Векторы $\partial_x$ и $\partial_y$ в каждой точке касательны к координатным линиям $x$ и $y$, проходящим через эту точку. Других координат в задаче не дано, так что многообразие, где заданы все эти поля, можно считать двумерным. Привычная евклидова плоскость тоже двумерна. А привычные единичные векторы $\mathbf i$ и $\mathbf j$ декартова базиса — это, с точки зрения дифгема, как раз $\partial_x$ и $\partial_y$.

Тогда что мешает просто изобразить поля $\partial_x, \partial_y, X_1, X_2$ из нашей задачи на плоскости?

На евклидовой плоскости (аналогично, в евклидовом пространстве) мы можем делать (помимо прочего) пару вещей:
1) совершать параллельный перенос векторов;
2) измерять расстояния между точками.
Это, в свою очередь, даёт уже много других возможностей. Например, перенося вектор параллельно самому себе, можно построить прямую. Умея измерять расстояния, можно определить понятие угла. И т.д. Всё это изучается в геометрии.

Но в дифференциальной геометрии изучаются также и такие ситуации, когда:
$\bullet$ нет возможности делать 1) и 2); или же можно делать 1), но нет средств сделать 2);
$\bullet$ либо средства сделать это имеются, но законы, которым подчиняется параллельный перенос и расстояния между точками, отличаются от привычных.

Всякий раз оговаривается, что мы делать можем, а что нет, и каким законам оно подчиняется. Например, в Вашей задаче описан параллельный перенос, но нет никакой возможности измерять расстояния между точками. Тем ценнее полученные результаты: ведь они не зависят от того, как определены расстояния, и определены ли вообще.

Поэтому будет не очень корректно изображать эти поля на евклидовой плоскости. В лучшем случае, появится излишняя конкретика. Когда Вы нарисуете поля на картинке, то на ней между точками будут какие-то конкретные расстояния, хотя наша задача может относиться к ситуации, где понятия «расстояние» нет вообще.

В худшем случае картинка на плоскости будет совершенно неадекватна законам, принятым для параллельного переноса и расстояний.

Как это можно визуализировать? Взгляните на картинки:
A:
B:
C:
В воображаемом мире, в котором не определён ни параллельный перенос, ни расстояния, невозможно отличить картинки A и B.
В воображаемом мире, в котором задан параллельный перенос, но нет расстояний, A и B отличить можно, но невозможно отличить картинки A и C.

Остаётся вопрос, имеют ли эти миры какое-то отношение к миру, в котором мы живём? Имеют, но это отдельный большой разговор.

[PalmDesert]

svv, спасибо большое за ответ! :)
а между символоми Кристоффеля и метричной матрицей нет соответствия? Просто мне подумалось, что они как-то биективно связаны на основании этой формулы: $\Gamma^i {}_{k\ell}= \frac{1}{2}g^{im} \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right)$

[svv]

Тут такая точка зрения: метрика сама по себе, а связность сама по себе. Но если они связаны вот этой формулой, тогда говорят: «метрика согласована со связностью».

[Walker_XXI]

PalmDesert в сообщении #1272544 писал(а):

svv, спасибо большое за ответ! :)
а между символоми Кристоффеля и метричной матрицей нет соответствия? Просто мне подумалось, что они как-то биективно связаны на основании этой формулы: $\Gamma^i {}_{k\ell}= \frac{1}{2}g^{im} \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right)$

Относительно $g$ это система диффуров в частных производных, так что в общем случае нет никакой биекции.

Соответствие, безусловно, есть. Символы Кристоффеля -- это компоненты аффинной связности. Формула имеет место только для связностей Леви-Чивиты и отражает тот факт, что это Римановы связности без кручения, т.е. метрический тензор ковариантно постоянен (${\displaystyle \nabla _{X}g=0}$ для любого векторного поля $X$ на многообразии) и тензор кручения равен 0:

$$ \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,\;Y]=0$$

для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ .

[svv]

Walker_XXI в сообщении #1272554 писал(а):

$$ \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,\;Y]=0$$

Интересно вычислить левую часть в нашей задаче и увидеть, что у нас связность с кручением (я это для себя сделал в самом начале). Так как коэффициенты разложения по базису $(X_1, X_2)$ самих полей $X_1, X_2$ постоянны, то $\nabla_{X_2}X_1=\nabla_{X_1}X_2=0$. Но $[X_1, X_2]=(x \partial_x + \partial_y)(- \partial_x + x \partial_y)-(- \partial_x + x \partial_y)(x \partial_x + \partial_y)\neq 0$. Поэтому и $T(X_1, X_2)\neq 0$.
Следовательно, мы не получим $\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}$ ни в каких координатах.
И с нашей связностью не будет согласована никакая метрика.