2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 15:06 
Аватара пользователя


12/10/16
205
Almaty, Kazakhstan
Для наглядности покажу на примерах. Возьмём любую последовательность $a(n)=x^n$ ; и будем вычитать $(x+1)^n-x^n$ , и далее $((x+1)^n-x^n)-(x^n-(x-1)^n)$ пока не получим нули:
для $x^2$ : 1, ,4, ,9, ,16, ,25....
3, ,5, ,7, ,9.....
2, ,2, ,2....
0, ,0...

для $x^3$ : 1, ,8, ,27, ,64, ,125....
7, ,19, ,37, ,61....
12, ,18, ,24.....
6, ,6....
0,...
Всегда ли для всех $n$ мы получим в конце ноль, а предпоследним будет $n!$ ?
Кажется тривиальным, но не знаю с чем это связать (как объяснить).
Ежели произвести обратное вычисление для $x^3$ :
1, ,8, ,27, ,64, ,125...
0, ,1, ,9, ,36, ,100, ,225....
то получим разницу чисел вида $\left(\sum_{k=1}^{\infty}k\right)^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21606
Уфа
Можно и в лоб. Покажите по индукции, что $n$-я разность даст константный ноль. Дальше остаётся разобраться с историей значения $(n-1)$-й разности.

Посмотрите для интереса, что разностный оператор делает с факториальными степенями $$x^{\underline{n}} \equiv \prod_{i=1}^n (x-i+1).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 16:08 
Аватара пользователя


26/09/16
71
Снегири
Заодно можно попробовать вспомнить про производную степенной функции. Ну мало ли, вдруг натолкнёт на нужные мысли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 16:10 
Заслуженный участник


16/02/13
2939
Владивосток
Ну, начните с малого. Возьмём многочлен $P_n(x)$ и построим последовательность первых разностей $P_n(x+1)-P_n(x)$. Что вы можете сказать про эту функцию?

(Оффтоп)

Soul Friend в сообщении #1272224 писал(а):
, ,
Вам, видимо, платят деньги за каждую запятую? Может, попробовать по четыре ставить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 16:48 
Аватара пользователя


01/12/17
86
Мельбурн
arseniiv в сообщении #1272248 писал(а):
Покажите по индукции, что $n$-я разность даст константный ноль.


Вряд ли получится по индукции, т.к разность $(n+1)$-х степеней трудно связать с разностью $n$-х:
$$
(x+1)^{n+1}-x^{n+1} = ((x+1)^n-x^n)x + (x+1)^n 
$$
где $(x+1)^n$ оказывается не у дела.

Пробовал использовать бином:
$$
(x+1)^{n}-x^{n} = \sum_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}x^{n-k}}
$$
В второй строке получается уже двойное суммирование, в третьей — тройное, однако «чистый» факториал никак не заметен. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21606
Уфа
pcyanide в сообщении #1272267 писал(а):
Вряд ли получится по индукции, т.к разность $(n+1)$-х степеней трудно связать с разностью $n$
iifat выше написал про произвольные многочлены, вот на них индукция должна быть. Я не дописал более-менее очевидное, каюсь. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 17:05 
Аватара пользователя


01/12/17
86
Мельбурн
По-моему идея с производными полиномами заслуживает рассмотрения, во-первых потому что дифференцируя многократно $x^n$ получим факториал, а во-вторых $(x+1)^n-x^n$ можно рассматривать как $\frac{\Delta P(x)}{\Delta x}$ на единичном интервале. Жаль у меня нет сейчас времени.

-- 06.12.2017, 00:14 --

Может, поможет теорема о среднем: $(x+1)^n-x^n=ny^{n-1}$, где $x\le y \le x+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21606
Уфа
Да тут всё тупо делается, какая теорема о среднем?! Не путайте себя и ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5623
Москва
Поздравляю! Вы открыли исчисление конечных разностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение06.12.2017, 03:35 
Аватара пользователя


01/12/17
86
Мельбурн
arseniiv в сообщении #1272279 писал(а):
Да тут всё тупо делается, какая теорема о среднем?! Не путайте себя и ТС.


Если все тупо, то где решение? Или я что-то пропустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение06.12.2017, 06:12 
Модератор


20/03/14
7799
 i  pcyanide
Я все хочу напомнить Вам ознакомиться с Правилами форума. Чтобы Вы и сами не размещали в ПРР готовые решения, и других к этому не призывали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: artfin


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group