2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поиграем с функцией x^x
Сообщение04.12.2017, 20:29 
Аватара пользователя


09/10/15
2651
Columbia, Missouri, USA
Надо доказать, что для любых положительных вещественных $a, b, c$ справедливо неравенство:
$a^ab^bc^c\geqslant(abc)^{(a+b+c)/3}$
А может и вообще для любого набора положительных вещественных $a_i$ справедливо:
$\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{a_i}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)/n}$ ???

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение04.12.2017, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2368
Уфа
Вроде бы, слишком просто.
Логарифмируем, и результат мгновенно следует из выпуклости вниз функции $x\ln x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 00:40 
Аватара пользователя


09/10/15
2651
Columbia, Missouri, USA
У меня под рукой есть два решения.
Выложите, пожалуйста, ваше простое, я тогда выложу другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 09:44 


30/03/08
186
St.Peterburg
fred1996 в сообщении #1272018 писал(а):
Надо доказать, что для любых положительных вещественных $a, b, c$ справедливо неравенство:
$a^ab^bc^c\geqslant(abc)^{(a+b+c)/3}$
А может и вообще для любого набора положительных вещественных $a_i$ справедливо:
$\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{a_i}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)/n}$ ???


пусть $a_1 \ge a_2\ge ...\ge a_n$

$a_1^{a_1}...a_n^{a_n} \ge a_1^{b_1} a_2^{b_2}...a_n^{b_n}$ , где $b $ - циклическая перестановка

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2368
Уфа
fred1996 в сообщении #1272084 писал(а):
Выложите, пожалуйста, ваше простое
Функция $f(x)=x\ln x$ выпукла вниз на $(0, \infty)$, поскольку её вторая производная $f''(x)=1/x > 0$. Применим неравенство Иенсена:
$$f\left( \sum\limits_{i=1}^{n} q_i x_i \right) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n} q_i f (x_i)\eqno(0)$$ к нашим положительным $x_i=a_i$ и $q_i=1/n$:
$$f\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i \right) \leqslant \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} f (a_i),\eqno(1)$$ $$\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)\ln\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \right) \leqslant \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \ln a_i.\eqno(2)$$ Сокращаем на $1/n$ и потенцируем: $$\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_i\right)^{\sum\limits_{i=1}^{n} a_i} \leqslant \prod_{i=1}^{n} a_i^{a_i}.\eqno(3)$$
Хм... я был недостаточно внимательным. Оказывается, получившееся неравенство — не совсем то, которое требовалось доказать :P
Беру свои слова про "мгновенность" обратно. Тут нужен ещё один шаг: неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (оно, кстати, следует из того же неравенства Иенсена для $f(x)=-\ln x$):
$$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \geqslant \left(\prod\limits_{i=1}^n a_i\right)^{1/n}.\eqno(4)$$
Окончательно имеем:
$$\prod\limits_{i=1}^{n} a_i^{a_i} \geqslant \left(\prod\limits_{i=1}^n a_i\right)^{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_i}\eqno(5)$$
Это уже больше похоже на то, что в условии :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 12:40 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
А куда девается $\frac{1}{n}$ из левой части?

Может в условии ошибка и должно быть $\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{\frac{a_i}{n}}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{a_i}{n})}$ или $\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{a_i}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5344
pcyanide в сообщении #1272192 писал(а):
А куда девается $\frac{1}{n}$ из левой части?
Может в условии ошибка
Старайтесь цитировать непонятный момент. А ошибки в условии в таком случае лучше всего демонстрировать контрпримером (при попытке нахождения которого обычно всё проясняется :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 14:56 


03/03/12
1021
$a^ab^b\ge a^bb^a$

$a^ac^c\ge a^cc^a$

$b^bc^c\ge b^cc^b$

$(a^{2a}b^{2b}c^{2c})\ge a^{b+c}b^{a+c}c^{a+b}

$

$a^ab^bc^c\ge(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$

Далее по индукции, наверное (не проверяла).

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 15:19 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
grizzly в сообщении #1272213 писал(а):
Старайтесь цитировать непонятный момент.


Наверное переход от суммы к произведениям (т.е. (4) в (5)) надо детальнее прокомментировать, иначе непонятно. Мне показалось, что это просто потенцирование, но наверное я что-то не уловил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2368
Уфа
Наверное, я должен это прокомментировать. Сейчас соберусь с мыслями и прокомментирую.
Пронумеровал формулы в своём сообщении. Схожу пока поем.
Нет, кусок в горло не лезет :-)

-- Вт дек 05, 2017 17:33:37 --

(5) следует не из (4), а из (3), в котором в левой части среднее арифметическое заменено на среднее геометрическое (по (4) там должно быть усиление неравенства (3)), плюс я поменял местами левую и правую части, за что прошу прощения :wink: . Вроде, старался расписывать подробно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 15:38 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
Ну сейчас совсем другое дело! :-)

-- 05.12.2017, 22:42 --

Больше всего поражает то, что неравенство работает независимо от того, будет $abc$ больше или меньше единицы. По правде говоря даже несколько подозрительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 16:25 


05/09/16
3497
pcyanide в сообщении #1272236 писал(а):
Больше всего поражает то, что неравенство работает независимо от того, будет $abc$ больше или меньше единицы.

Так ведь при стремлении икса к нулю с функцией $y=x^x$ ничего этакого не происходит -- функция стремится к единице. А глобальный минимум вообще равен $e^{-1/e} \approx 0,69$ что тоже на ноль совсем не похоже, и поэтому $a^ab^bc^c \geqslant e^{-3/e} \approx 0,33$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиграем с функцией x^x
Сообщение05.12.2017, 16:40 
Аватара пользователя


09/10/15
2651
Columbia, Missouri, USA
Sergic Primazon
TR63
Да, это решение я и имел ввиду под более простым.

-- 05.12.2017, 06:09 --

pcyanide в сообщении #1272192 писал(а):
А куда девается $\frac{1}{n}$ из левой части?

Может в условии ошибка и должно быть $\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{\frac{a_i}{n}}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{a_i}{n})}$ или $\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{a_i}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)}$ ?


Посмотрите повнимательнее.
У вас получается
$(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{\sum\limits_{j=1}^{n}a_j}=(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{a_i})(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{\sum\limits_{i=1, j\ne i}^{n}a_j})$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group