Поиграем с функцией x^x

[fred1996]

Надо доказать, что для любых положительных вещественных $a, b, c$ справедливо неравенство:
$a^ab^bc^c\geqslant(abc)^{(a+b+c)/3}$
А может и вообще для любого набора положительных вещественных $a_i$ справедливо:
$\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{a_i}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)/n}$ ???

[worm2]

Вроде бы, слишком просто.
Логарифмируем, и результат мгновенно следует из выпуклости вниз функции $x\ln x$.

[fred1996]

У меня под рукой есть два решения.
Выложите, пожалуйста, ваше простое, я тогда выложу другое.

[Sergic Primazon]

fred1996 в сообщении #1272018 писал(а):

Надо доказать, что для любых положительных вещественных $a, b, c$ справедливо неравенство:
$a^ab^bc^c\geqslant(abc)^{(a+b+c)/3}$
А может и вообще для любого набора положительных вещественных $a_i$ справедливо:
$\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{a_i}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)/n}$ ???

пусть $a_1 \ge a_2\ge ...\ge a_n$

$a_1^{a_1}...a_n^{a_n} \ge a_1^{b_1} a_2^{b_2}...a_n^{b_n}$ , где $b $ - циклическая перестановка

[worm2]

fred1996 в сообщении #1272084 писал(а):

Выложите, пожалуйста, ваше простое

Функция $f(x)=x\ln x$ выпукла вниз на $(0, \infty)$, поскольку её вторая производная $f''(x)=1/x > 0$. Применим неравенство Иенсена:

$$f\left( \sum\limits_{i=1}^{n} q_i x_i \right) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n} q_i f (x_i)\eqno(0)$$

к нашим положительным $x_i=a_i$ и $q_i=1/n$:

$$f\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i \right) \leqslant \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} f (a_i),\eqno(1)$$

$$\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)\ln\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \right) \leqslant \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \ln a_i.\eqno(2)$$

Сокращаем на $1/n$ и потенцируем:

$$\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_i\right)^{\sum\limits_{i=1}^{n} a_i} \leqslant \prod_{i=1}^{n} a_i^{a_i}.\eqno(3)$$

Хм... я был недостаточно внимательным. Оказывается, получившееся неравенство — не совсем то, которое требовалось доказать
Беру свои слова про "мгновенность" обратно. Тут нужен ещё один шаг: неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (оно, кстати, следует из того же неравенства Иенсена для $f(x)=-\ln x$):

$$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \geqslant \left(\prod\limits_{i=1}^n a_i\right)^{1/n}.\eqno(4)$$

Окончательно имеем:

$$\prod\limits_{i=1}^{n} a_i^{a_i} \geqslant \left(\prod\limits_{i=1}^n a_i\right)^{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_i}\eqno(5)$$

Это уже больше похоже на то, что в условии

[pcyanide]

А куда девается $\frac{1}{n}$ из левой части?

Может в условии ошибка и должно быть $\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{\frac{a_i}{n}}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{a_i}{n})}$ или $\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{a_i}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)}$ ?

[grizzly]

pcyanide в сообщении #1272192 писал(а):

А куда девается $\frac{1}{n}$ из левой части?
Может в условии ошибка

Старайтесь цитировать непонятный момент. А ошибки в условии в таком случае лучше всего демонстрировать контрпримером (при попытке нахождения которого обычно всё проясняется :)

[TR63]

$a^ab^b\ge a^bb^a$

$a^ac^c\ge a^cc^a$

$b^bc^c\ge b^cc^b$

$(a^{2a}b^{2b}c^{2c})\ge a^{b+c}b^{a+c}c^{a+b} $

$a^ab^bc^c\ge(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$

Далее по индукции, наверное (не проверяла).

[pcyanide]

grizzly в сообщении #1272213 писал(а):

Старайтесь цитировать непонятный момент.

Наверное переход от суммы к произведениям (т.е. (4) в (5)) надо детальнее прокомментировать, иначе непонятно. Мне показалось, что это просто потенцирование, но наверное я что-то не уловил.

[worm2]

Наверное, я должен это прокомментировать. Сейчас соберусь с мыслями и прокомментирую.
Пронумеровал формулы в своём сообщении. Схожу пока поем.
Нет, кусок в горло не лезет

-- Вт дек 05, 2017 17:33:37 --

(5) следует не из (4), а из (3), в котором в левой части среднее арифметическое заменено на среднее геометрическое (по (4) там должно быть усиление неравенства (3)), плюс я поменял местами левую и правую части, за что прошу прощения . Вроде, старался расписывать подробно.

[pcyanide]

Ну сейчас совсем другое дело!

-- 05.12.2017, 22:42 --

Больше всего поражает то, что неравенство работает независимо от того, будет $abc$ больше или меньше единицы. По правде говоря даже несколько подозрительно.

[wrest]

pcyanide в сообщении #1272236 писал(а):

Больше всего поражает то, что неравенство работает независимо от того, будет $abc$ больше или меньше единицы.

Так ведь при стремлении икса к нулю с функцией $y=x^x$ ничего этакого не происходит -- функция стремится к единице. А глобальный минимум вообще равен $e^{-1/e} \approx 0,69$ что тоже на ноль совсем не похоже, и поэтому $a^ab^bc^c \geqslant e^{-3/e} \approx 0,33$

[fred1996]

Sergic Primazon
TR63
Да, это решение я и имел ввиду под более простым.

-- 05.12.2017, 06:09 --

pcyanide в сообщении #1272192 писал(а):

А куда девается $\frac{1}{n}$ из левой части?

Может в условии ошибка и должно быть $\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{\frac{a_i}{n}}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{a_i}{n})}$ или $\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{a_i}\geqslant(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)}$ ?

Посмотрите повнимательнее.
У вас получается
$(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i)^{\sum\limits_{j=1}^{n}a_j}=(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{a_i})(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{\sum\limits_{i=1, j\ne i}^{n}a_j})$