Встречались ли Вам подобные объекты?

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток!
В процессе работы над одной проблемой в области теории графов я столкнулся с объектом, который может встречаться во многих областях математики, так как имеет скорее категорную природу, нежели чем графическую. Мне бы очень хотелось узнать проводились ли исследование подобных структур и какие есть результаты на эту тему. Данный объект я назвал изооблаком, и ниже привожу его определение:

Определение 1.
Изооблаком между графами (простые графы без петель и смежных ребер) $\Gamma$ и $H$ называется множество $I = \left\lbrace f: \Gamma \to H\right\rbrace$, таких биекций между множествами их вершин, что для него выполнены 2 свойства:
1) $\forall f \in I \to f^{-1} \circ I = Aut \ \Gamma$
2) $\forall f \in I \to f \circ I^{-1} = Aut \ H$
Где под операцией композиции функции и множества понимается множество всевозможных композиций, а под $Aut \ \Gamma$ - множество автоморфизмов данного графа.
Что в этом определении существенно: рассматриваются произвольные отображения между множествами вершин 2 графов (или не графов, а, например, групп, колец, чего-то еще), причем эти отображения могут структуру графа не уважать (не сохранять отношение смежности), однако композиции прямого и обратного отображений всегда дают автоморфизм, то есть уже уважают структуру графа.

Этот же объект можно определить чуть по другому, следующей конструкцией:

Определение 2.
Назовем биекцию $f: \Gamma \to H$ между множествами вершин 2 графов хорошей, если она индуцирует изоморфизм двух групп автоморфизмов графов по правилу:
$f \circ Aut \ \Gamma \circ f^{-1} = Aut \ H$, точнее говоря так: $f: \gamma \to f \circ \gamma \circ f^{-1}$. То есть если она задает некий изоморфизм с помощью такого вот действия "сопряжением".
И назовем 2 биекции эквивалентными, если они отличаются на автоморфизм графа $\Gamma$
Тогда изооблака - это в точности классы эквивалетности хороших биекций.

Можно сказать, что такое определение является некоторым обобщением понятия множества всех изоморфизмов между двумя данными объектами. Вообще говоря, изооблако - это множество стрелок между двумя объектами, которые при композициях туда и обратно дают группы автоморфизмов. Только стрелки берутся из самой общей категории, которая содержит данный объект (ну то есть рассматриваем произвольные биективные отображения, я не уверен что биективность так важна, но в практике я столкнулся именно с биективными отображениями, так как их можно обращать, чем я как вы могли видеть активно пользуюсь).

[vpb]

Pulseofmalstrem,
буквально с таким я не сталкивался. Но вообще это некие знакомые вещи, в том смысле, что это комбинация двух хорошо известных идей.

Первая мысль --- что группы подстановок можно рассматривать как категорию. Вторая --- что у категорий, аналогично группам, есть подкатегории и факторкатегории.

Для множества $X$ пусть $S(X)$ -- группа всех перестановок множества $X$. Группой подстановок будем называть пару вида $(X,G)$, где $X$ --- множество,
$G$ --- любая подгруппа в $S(X)$. Изоморфизм групп подстановок $(X,G)$, $(Y,H)$ --- это пара $(\alpha,\beta)$, где $\alpha:X\longrightarrow Y$ --- биекция,
$\beta:G\longrightarrow H$ --- изоморфизм групп, причем диаграмма

$$ \xymatrix{ X \ar[r]^g \ar[d]_\alpha & X \ar[d]^\alpha \\ Y \ar[r]^{\beta(g)} & Y } $$

коммутативна для любого $g\in G$.
Более общо, морфизм из $(X,G)$ в $(Y,H)$ --- это пара $(\varphi,\psi)$, где $\varphi:X\longrightarrow Y$ --- любое отображение, $\psi:G\longrightarrow H$ --- гомоморфизм групп, причем диаграмма

$$ \xymatrix{ X \ar[r]^g \ar[d]_\varphi & X \ar[d]^\varphi \\ Y \ar[r]^{\psi(g)} & Y } $$

всегда коммутативна. Можно проверить, что все группы подстановок и их морфизмы образуют категорию (сам я, честно говоря, этого детально не проверял. Но Вы, как я понимаю, можете с эим уже самостоятельно разобраться). Обозначим эту категорию, скажем, $\mathcal P$.

-- 05.12.2017, 08:30 --

Можно проверить, что изоморфизмы в $\mathcal P$ --- это в точности изоморфизмы групп подстановок в указанном выше смысле.

Упражнение. Если $\alpha=(\varphi,\psi)$ --- $\mathcal P$-морфизм из $(X,G)$ в $(Y,H)$, причем $\varphi$ --- биекция, то $\psi$ --- изоморфизм групп, и $\alpha$ --- изоморфизм в категории $\mathcal P$.

Если $\mathcal C$ --- любая категория, то множество всех изоморфизмов в $\mathcal C$ --- подкатегория.

В исходном вопросе речь шла про графы, но, насколько я понимаю, значение имеют не сами графы, а только их группы автоморфизмов.

Теперь про подкатегории и факторкатегории. Пусть $\mathcal C$ --- категория, ${\rm Ob\,}\mathcal C$ --- множество
ее объектов, ${\rm Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ --- множество $\mathcal C$-морфизмов из $X$ в $Y$. Допустим, на каждом множестве ${\rm Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ задана некоторая эквивалентность (разбиение на классы), причем она совместима с умножением морфизмов в категории :
если $A,B,C\in {\rm Ob\,}\mathcal C$, $\alpha,\beta$ --- морфизмы из $A$ в $B$, $\gamma$ --- из $B$ в $C$, причем $\alpha\sim\beta$, то $\gamma\alpha\sim\gamma\beta$; а если $\alpha\in{\rm Hom}_{\mathcal C}(A,B)$,
$\beta,\gamma \in{\rm Hom}_{\mathcal C}(B,C)$ и $\beta\sim\gamma$, то $\beta\alpha\sim\gamma\alpha$.

Тогда можно определить новую категорию, обозначим ее, скажем, $\overline{\mathcal C}$; объекты $\overline{\mathcal C}$ --- те же, что и в ${\mathcal C}$, ${\rm Ob\,} \overline{\mathcal C} = {\rm Ob\,}{\mathcal C}$, а ${\rm Hom}_{\overline{\mathcal C}}(X,Y)$ --- это множество классов в ${\rm Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$. Как определить в $\overline{\mathcal C}$ умножение морфизмов, и почему это действительно категория --- оставляю Вам для самостоятельного разбора.

-- 05.12.2017, 08:32 --

Вернемся к исходному вопросу. То, что Вы называете "изооблака", это некая факторкатегория для подкатегории категории
изоморфизмов в категории $\mathcal P$. Осознать это также оставляю Вам.

Если что, элементарные вводные сведения о категориях --- в С.Ленг, Алгебра, гл.1, параграф 7; С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин, Методы гомологической алгебры, начало гл.2.

Ну, и еще одна мысль такая. Пользоваться в работе категориями --- это, конечно, "круто", в смысле престижа и произвести впечатление. Но важно не только произвести впечатление, а решить конкретную задачу. Категории же --- это в основном язык и отчасти орудия, полезные, но сами по себе они никакую задачу не решают. (Тут надо оговориться, что категории можно воспринимать как язык, а бывают категории и как конкретные объекты, типа обобщенных групп. Где кончается одно и начинается другое, не всегда легко сказать. Но разница такая, что "категории как язык" можно в принципе заменить
на язык в других словах, а категории как конкретные объекты уже ничем не заменишь).

Такие дела, в общем....