2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Встречались ли Вам подобные объекты?
Сообщение03.12.2017, 23:21 


16/12/14
418
Доброе время суток!
В процессе работы над одной проблемой в области теории графов я столкнулся с объектом, который может встречаться во многих областях математики, так как имеет скорее категорную природу, нежели чем графическую. Мне бы очень хотелось узнать проводились ли исследование подобных структур и какие есть результаты на эту тему. Данный объект я назвал изооблаком, и ниже привожу его определение:

Определение 1.
Изооблаком между графами (простые графы без петель и смежных ребер) $\Gamma$ и $H$ называется множество $I = \left\lbrace f: \Gamma \to H\right\rbrace$, таких биекций между множествами их вершин, что для него выполнены 2 свойства:
1) $\forall f \in I \to f^{-1} \circ I = Aut \ \Gamma$
2) $\forall f \in I \to f \circ I^{-1} = Aut  \ H$
Где под операцией композиции функции и множества понимается множество всевозможных композиций, а под $Aut \ \Gamma$ - множество автоморфизмов данного графа.
Что в этом определении существенно: рассматриваются произвольные отображения между множествами вершин 2 графов (или не графов, а, например, групп, колец, чего-то еще), причем эти отображения могут структуру графа не уважать (не сохранять отношение смежности), однако композиции прямого и обратного отображений всегда дают автоморфизм, то есть уже уважают структуру графа.

Этот же объект можно определить чуть по другому, следующей конструкцией:

Определение 2.
Назовем биекцию $f: \Gamma \to H$ между множествами вершин 2 графов хорошей, если она индуцирует изоморфизм двух групп автоморфизмов графов по правилу:
$f \circ Aut \ \Gamma \circ f^{-1} = Aut \ H$, точнее говоря так: $f: \gamma \to f \circ \gamma \circ f^{-1}$. То есть если она задает некий изоморфизм с помощью такого вот действия "сопряжением".
И назовем 2 биекции эквивалентными, если они отличаются на автоморфизм графа $\Gamma$
Тогда изооблака - это в точности классы эквивалетности хороших биекций.

Можно сказать, что такое определение является некоторым обобщением понятия множества всех изоморфизмов между двумя данными объектами. Вообще говоря, изооблако - это множество стрелок между двумя объектами, которые при композициях туда и обратно дают группы автоморфизмов. Только стрелки берутся из самой общей категории, которая содержит данный объект (ну то есть рассматриваем произвольные биективные отображения, я не уверен что биективность так важна, но в практике я столкнулся именно с биективными отображениями, так как их можно обращать, чем я как вы могли видеть активно пользуюсь).

 Профиль  
                  
 
 Re: Встречались ли Вам подобные объекты?
Сообщение05.12.2017, 09:22 
Заслуженный участник


18/01/15
629
Pulseofmalstrem,
буквально с таким я не сталкивался. Но вообще это некие знакомые вещи, в том смысле, что это комбинация двух хорошо известных идей.

Первая мысль --- что группы подстановок можно рассматривать как категорию. Вторая --- что у категорий, аналогично группам, есть подкатегории и факторкатегории.

Для множества $X$ пусть $S(X)$ -- группа всех перестановок множества $X$. Группой подстановок будем называть пару вида $(X,G)$, где $X$ --- множество,
$G$ --- любая подгруппа в $S(X)$. Изоморфизм групп подстановок $(X,G)$, $(Y,H)$ --- это пара $(\alpha,\beta)$, где $\alpha:X\longrightarrow Y$ --- биекция,
$\beta:G\longrightarrow H$ --- изоморфизм групп, причем диаграмма $$ \xymatrix{ X \ar[r]^g  \ar[d]_\alpha  &  X \ar[d]^\alpha \\ Y \ar[r]^{\beta(g)} & Y } $$ коммутативна для любого $g\in G$.
Более общо, морфизм из $(X,G)$ в $(Y,H)$ --- это пара $(\varphi,\psi)$, где $\varphi:X\longrightarrow Y$ --- любое отображение, $\psi:G\longrightarrow H$ --- гомоморфизм групп, причем диаграмма $$ \xymatrix{ X \ar[r]^g  \ar[d]_\varphi  &  X \ar[d]^\varphi \\ Y \ar[r]^{\psi(g)} & Y } $$ всегда коммутативна. Можно проверить, что все группы подстановок и их морфизмы образуют категорию (сам я, честно говоря, этого детально не проверял. Но Вы, как я понимаю, можете с эим уже самостоятельно разобраться). Обозначим эту категорию, скажем, $\mathcal P$.

-- 05.12.2017, 08:30 --

Можно проверить, что изоморфизмы в $\mathcal P$ --- это в точности изоморфизмы групп подстановок в указанном выше смысле.

Упражнение. Если $\alpha=(\varphi,\psi)$ --- $\mathcal P$-морфизм из $(X,G)$ в $(Y,H)$, причем $\varphi$ --- биекция, то $\psi$ --- изоморфизм групп, и $\alpha$ --- изоморфизм в категории $\mathcal P$.

Если $\mathcal C$ --- любая категория, то множество всех изоморфизмов в $\mathcal C$ --- подкатегория.

В исходном вопросе речь шла про графы, но, насколько я понимаю, значение имеют не сами графы, а только их группы автоморфизмов.

Теперь про подкатегории и факторкатегории. Пусть $\mathcal C$ --- категория, ${\rm Ob\,}\mathcal C$ --- множество
ее объектов, ${\rm Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ --- множество $\mathcal C$-морфизмов из $X$ в $Y$. Допустим, на каждом множестве ${\rm Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ задана некоторая эквивалентность (разбиение на классы), причем она совместима с умножением морфизмов в категории :
если $A,B,C\in {\rm Ob\,}\mathcal C$, $\alpha,\beta$ --- морфизмы из $A$ в $B$, $\gamma$ --- из $B$ в $C$, причем $\alpha\sim\beta$, то $\gamma\alpha\sim\gamma\beta$; а если $\alpha\in{\rm Hom}_{\mathcal C}(A,B)$,
$\beta,\gamma \in{\rm Hom}_{\mathcal C}(B,C)$ и $\beta\sim\gamma$, то $\beta\alpha\sim\gamma\alpha$.

Тогда можно определить новую категорию, обозначим ее, скажем, $\overline{\mathcal C}$; объекты $\overline{\mathcal C}$ --- те же, что и в ${\mathcal C}$, ${\rm Ob\,} \overline{\mathcal C} = {\rm Ob\,}{\mathcal C}$, а ${\rm Hom}_{\overline{\mathcal C}}(X,Y)$ --- это множество классов в ${\rm Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$. Как определить в $\overline{\mathcal C}$ умножение морфизмов, и почему это действительно категория --- оставляю Вам для самостоятельного разбора.

-- 05.12.2017, 08:32 --

Вернемся к исходному вопросу. То, что Вы называете "изооблака", это некая факторкатегория для подкатегории категории
изоморфизмов в категории $\mathcal P$. Осознать это также оставляю Вам.

Если что, элементарные вводные сведения о категориях --- в С.Ленг, Алгебра, гл.1, параграф 7; С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин, Методы гомологической алгебры, начало гл.2.

Ну, и еще одна мысль такая. Пользоваться в работе категориями --- это, конечно, "круто", в смысле престижа и произвести впечатление. Но важно не только произвести впечатление, а решить конкретную задачу. Категории же --- это в основном язык и отчасти орудия, полезные, но сами по себе они никакую задачу не решают. (Тут надо оговориться, что категории можно воспринимать как язык, а бывают категории и как конкретные объекты, типа обобщенных групп. Где кончается одно и начинается другое, не всегда легко сказать. Но разница такая, что "категории как язык" можно в принципе заменить
на язык в других словах, а категории как конкретные объекты уже ничем не заменишь).

Такие дела, в общем....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group