Найти площадь пятиугольника

[fred1996]

12d3
Элегантное решение.
Мне до сих пор было знакомо только решение а-ля worm2
Ладно, если вы тут такие крутые, у меня есть целая тетрадка задачек по геометрии для американских старшеклассников. Если народ не возражает, буду выкладывать по мере, так сказать. Извините наперед, если некоторые решения комментировать не буду. Сам я в геометрии не шибко силен, так что некоторые решения, боюсь, не пойму.

-- 04.12.2017, 09:39 --

arseniiv
Вроде сошлись на том, что параметров два.
Мне кажется, естественными для этой задачи будут следующие:
1. Пропорциональный горизонтальный сдвиг.
Фиксируем у любого треугольника основание, а противоположную вершину передвигаем параллельно ему.
2. Просто по вертикали и горизонтали в любом направлении сжимаем и растягиваем в $a$ раз.
Я не силен во всех этих штучках дрючках, так что поправьте меня, если в терминологии напутал.
Мне и самому интересно, можно ли считать такое доказательство строгим исчерпывающим.
То есть решается задача для праведного пентагона, а затем с помощью двух параметров корежится.

[kotenok gav]

worm2 в сообщении #1271997 писал(а):

$$\frac{AD}{AE}=\frac{S_1+S_2+S_3}{S_3}=\frac{1}{S_3},$$

$$\frac{AC}{AB}=\frac{S_5+S_6+S_7}{S_5}=\frac{1}{S_5},$$

В первых знаках равенства потерян квадрат (это не фатально), вторые неверны (это фатально).

worm2 в сообщении #1271997 писал(а):

$$\frac{AD}{AE}=\frac{S_{AFD}}{S_{AFE}}=\frac{S_4+S_5+S_6+S_0+S_{10}}{S_4+S_5}=\frac{S-2}{x+y}.$$

В первом знаке равенства потерян квадрат (это не фатально).

[fred1996]

kotenok gav
Квадраты тут ни при чем. Везде выписаны соотношения площадей треугольников с одинаковыми высотами. Так что высоты сокращаются, и остаются отношения оснований. Здесь вас подвела "квадратичная" логика плошадей.

[DrVirogov]

Задача напомила мне кое-что и, покопавшись в старых записях, нашёл интересные формулы.
Сначала введём необходимые обозначения.
Пусть имеется пятиугольник $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$.
$s_{i}$ - площадь $\triangle A_{i}A_{i+1}A_{i-1}$
$S_{i}$ - площадь $\triangle A_{i}A_{i+2}A_{i-2}$
$P$ - площадь пятиугольника.

Тогда выполняются следующие соотношения:

$P^2 - (s_{1}+s_{2}+s_{3}+s_{4}+s_{5})P + (s_{1}s_{2}+s_{2}s_{3}+s_{3}s_{4}+s_{4}s_{5}+s_{5}s_{1}) = 0$

$P^2 = (S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5})^2 - 4(S_{1}S_{3}+S_{2}S_{4}+S_{3}S_{5}+S_{4}S_{1}+S_{5}S_{2})$

Никаких ограничений на пятиугольник в этих записях не накладывается, так что, думаю, формулы работают и для невыпуклых и для вырожденных и для самопересекающихся пятиугольников. Возможно, площади придётся брать со знаком.
#18