Найти площадь пятиугольника

[fred1996]

Пусть у нас имеется выпуклый пятиугольник $ABCDE$ с таким свойством, что все 5 треугольников, образованных соседними точками, как $ABC$ и остальные по кругу, имеют единичную площадь.
1. Вычислить площадь всего пятиугольника.
2. Доказать, что существует бесконечное количество неконгруэнтных пятиугольников с указанным свойством.

#725

[wrest]

fred1996 в сообщении #1271919 писал(а):

1. Вычислить площадь всего пятиугольника.

Ну тут легкота.

Обозначим сторону пятиугольника как $x$, диагональ же как $y$.
Раз пятиугольник правильный, то [меньший] угол между стороной и диагональю равен $36^o$

Всем известно, что $\cos 36^o=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

Выражая диагональ через сторону, получаем $y=2x\cos 36^o=\frac{x(\sqrt{5}+1)}{2}$
Записывая площади треугольников $ABC$ и $ACE$ по формуле Герона и деля одну на другую, с учетом полученного выражения диагонали через сторону, получаем
$\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACE}}=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$

(Оффтоп)

Не обязательно по формуле Герона, можно по любой формуле -- нам известны все параметры этих треугольников: их стороны $x$ и $y$, угол между любыми двумя сторонами и синусы-косинусы-тангенсы всех этих углов

Поскольку $S_{ABC}=1$ а $S_{ABCDE}=S_{ABC}+S_{ACE}+S_{CDE}=2S_{ABC}+S_{ACE}$ то получаем
$S_{ABCDE}=\dfrac{10}{5-\sqrt{5}}\approx 3,618033988749895$


А, или пятиугольник неправильный? Тогда я пас.

[gris]

Поскольку в задаче не заданы прочие параметры, можно предположить, что ответ не зависит от них и равен найденному для правильного пятиугольника

[fred1996]

wrest
В пункте 2. Надо доказать, что существует бесконечно много таких неконгруэнтных пятиугольников.

-- 04.12.2017, 06:18 --

gris в сообщении #1271962 писал(а):

Поскольку в задаче не заданы прочие параметры, можно предположить, что ответ не зависит от них и равен найденному для правильного пятиугольника

А может ответов несколько?

[12d3]

fred1996 в сообщении #1271919 писал(а):

2. Доказать, что существует бесконечное количество неконгруэнтных пятиугольников с указанным свойством.

Вот тут можно поиграться со всеми такими пятиугольниками. Произвольно выбирая на плоскости три подряд идущие вершины, можно построить остальные две так, чтобы площади всех пяти треугольников из трех подряд идущих вершин были равны.

[arseniiv]

Ещё можно взять правильный пятиугольник с таким свойством и применить аффинное преобразование, сохраняющее площади (сжатие и растяжение в одинаковое число раз вдоль одной и другой ортогональных осей).

-- Пн дек 04, 2017 19:38:30 --

А вот даст ли это все возможные такие пятиугольники, мне так сразу не очевидно. К счастью, и не спрашивается найти все.

[wrest]

12d3 в сообщении #1271972 писал(а):

Произвольно выбирая на плоскости три подряд идущие вершины, можно построить остальные две так, чтобы площади всех пяти треугольников из трех подряд идущих вершин были равны.

Конкретно на вашем чертеже они не равны.

-- 04.12.2017, 18:00 --

arseniiv в сообщении #1271977 писал(а):

Ещё можно взять правильный пятиугольник с таким свойством и применить аффинное преобразование, сохраняющее площади (сжатие и растяжение в одинаковое число раз вдоль одной и другой ортогональных осей).

То есть если нарисовать правильный пятиугольник и потом смотреть на него под разными углами (издалека, чтоб не было перспективных искажений), соотношение между площадями будет сохраняться?
ХитрО :)

[arseniiv]

arseniiv в сообщении #1271977 писал(а):

А вот даст ли это все возможные такие пятиугольники, мне так сразу не очевидно.

Если поиграть с интерактивным чертежом (построил свой и проверил площади явно), создаётся впечатление, что все. Действительно, три вершины определяют площадь треугольника и форму пятиугольника, одновременно они задают произвольное аффинное преобразование единичного правильного пятиугольника.

[12d3]

wrest в сообщении #1271979 писал(а):

Конкретно на вашем чертеже они не равны.

Угу, ошибочка там была. Теперь поправлено.

[arseniiv]

wrest в сообщении #1271979 писал(а):

ХитрО

А чего тут хитрого, это следует из определения определителя как отношения гиперобъёмов до и после линейного преобразования.

[worm2]

А у меня рабоче-крестьянское решение 1-го пункта, с рисунком.
Но учить $\rm\bf{\Xy-pic}$ или эти ваши геогебры лень
Поэтому продолжу жрать кактус MS Word.

Буковками $S$ с индексами обозначены площади: $S_0$ — площадь маленького пятиугольника, остальные — площади треугольников.
Площадь всего большого пятиугольника обозначим $S$.
Я отметил на рисунке точки A, B, C, D, E, F, больше не стал отмечать, надеюсь, что хватит.
Итак, $S_{CAF}=S_5+S_6+S_7=S_7+S_8+S_9=S_{CDF}=\dots=1$.
Поскольку у треугольников общее основание CF, то из равенства площадей следует равенство высот, а значит, AD параллельно CF. То же самое для 4 других случаев, например, EB параллельно CD. Значит, треугольники ADC и AEB подобны, их площади относятся как квадраты длин соответствующих сторон:

$$\frac{S_{ADC}}{S_{AEB}}=\frac{S_4+S_0+S_8+S_9+S_{10}}{S_4}=\left(\frac{AD}{AE}\right)^2=\left(\frac{AC}{AB}\right)^2$$

Далее:

$$\frac{AD}{AE}=\frac{S_1+S_2+S_3}{S_3}=\frac{1}{S_3},$$

$$\frac{AC}{AB}=\frac{S_5+S_6+S_7}{S_5}=\frac{1}{S_5},$$

откуда заключаем, что $S_3=S_5$, это же верно для всех остальных площадей с нечётными индексами: $S_{2n-1}=x$.
В свою очередь, и площади с чётными индексами (кроме $S_0$) равны друг другу: $S_{2n}=y$, ибо $S_{2n}+2x=1$.
Также заметим, что

$$S_4+S_0+S_8+S_9+S_{10}=S-(S_1+S_2+S_3)-(S_5+S_6+S_7)=S-2,$$

а также что

$$\frac{AD}{AE}=\frac{S_{AFD}}{S_{AFE}}=\frac{S_4+S_5+S_6+S_0+S_{10}}{S_4+S_5}=\frac{S-2}{x+y}.$$

Ещё переобозначив $z=S-2$, имеем 3 неизвестных: $x$, $y$, $z$ и 3 уравнения на них:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{z}{y}&=&\frac{1}{x^2}\\ \frac{1}{x}&=&\frac{z}{x+y}\\ 2x+y&=&1 \end{array} \right.$$

Из 1-го уравнения: $y=x^2z$.
Из 2-го: $zx=x+y=x+x^2z$, откуда $x=(z-1)/z$.
Из 3-го: $2(z-1)/z+(z-1)^2/z=1$, или $z^2-z-1=0$.
Уравнение имеет единственный положительный корень $z=(1+\sqrt{5})/2$, откуда:

$$S=z+2=\frac{5+\sqrt{5}}{2} = 3.618...$$

[wrest]

worm2 в сообщении #1271997 писал(а):

То же самое для 4 других случаев, например, EB параллельно CD.

Ну вот и ответ на вопрос arseniiv. Похоже что сжатия производят все возможные пятиугольники из задачи, т.к. сжатия оставляют параллельные линии параллельными, а тут вроде выходит что противолежащая стороне диагональ необходимо параллельна ей.

[fred1996]

worm2
Не прошло и пяти часов.
Здорово! Я даже выспаться не успел.
Ну и второй вопрос совсем легкий. Сколько степеней свободы у этой конструкции?
Сколькими параметрами можно описать семейство таких пятиугольников?
И какими могут быть эти параметры?

[arseniiv]

fred1996 в сообщении #1271999 писал(а):

Не прошло и пяти часов.

А чего, решения предыдущих участников уже не решения? Берём, скажем, что написал wrest и дополняем моим замечанием об аффинных преобразованиях с определителем 1 — и внезапно решаются сразу обе подзадачи. Построение 12d3 наглядно показывает это семейство решений. То, что других решений и нет, вы не спрашивали.

UPD:

fred1996 в сообщении #1271999 писал(а):

Ну и второй вопрос совсем легкий. Сколько степеней свободы у этой конструкции?
Сколькими параметрами можно описать семейство таких пятиугольников?
И какими могут быть эти параметры?

Это уже тоже коллективно стало известно: соответствующими аффинными преобразованиями любого подходящего пятиугольника всё исчерпывается, так что параметров 6 минус 1, чтобы закрепить определитель, минус 2, чтобы не учитывать параллельные переносы, минус по желанию 1 для нивелирования поворотов, итого 3 или 2. Ну и смысл параметрам можно по-разному давать, смотря какие параметры брать. Например, можно зафиксировать одну из вершин и рассматривать угол при ней и отношение инцидентных ей сторон, или направить одну из сторон по оси абсцисс некой декартовой системы и параметрами назначить координаты второй вершины другого инцидентного фиксированной вершине ребра. Или можно рассматривать, каким преобразованием мы получили интересующий пятиугольник из правильного, и взять какие-то более естественные характеристики этого преобразования: скажем, след и…

[12d3]

Я решал так. Рассмотрим координаты вершин в базисе векторов $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}$:
$\begin{array}{lllll}A \left(0,0\right)\\B \left(1,0\right)\\C \left(x_1,y_1\right)\\D \left(x_2,y_2\right)\\E \left(0,1\right)\\ \end{array}$
Из равенства площадей следует параллельность сторон пятиугольника несмежным диагоналям. Параллельность двух отрезков равносильна равенству отношений проекций этих отрезков на координатные оси. Итого получаем 4 уравнения:
$\left\{\begin{array}{llll}y_1-1 = 0\\ x_2-1=0 \\x_2-x_1=y_1-y_2\\ (x_1-1)y_2=y_1x_2 \\ \end{array}\right .$
Поскольку тут присутствует уравнение второй степени, будут два решения, одно из них - звезда, а второе - выпуклый пятиугольник. $x_2=y_1=1,\,\, x_1=y_2 = \frac{\sqrt 5 + 1}{2}$.
Вот мы получили, что задав три точки, мы задаем пятиугольник. Ответ на первый вопрос таков: $\frac{S_{ABCDE}}{S_{ABC}} = \frac{S_{ABC}+S_{ACD}+S_{ADE}}{S_{ABC}} = 1 + \frac{AD}{BC}+1 = 2+ \frac{\sqrt 5 + 1}{2} = \frac{5+\sqrt 5 }{2}$.